基本 例題
00000
XP(=60°)の2辺 PX, PYに接する半径1の円を 0 とする。 次に, 2辺
PX, PV および円 01 に接する円のうち半径の小さい方の円を 02 とする。
同様にして順に円OOを作る。
以下、同様にして順に円 3,0
(1)円0の半径rn をnで表せ。
(2)円Omの面積を Sn とするとき, S+S2+…+Snをnで表せ。
指針
(1)
円0 0+1の場合について,図をかいて, n+1 と rnの関係を調べる。
このとき、3辺の比が1:32の直角三角形に注目する。
(2)等比数列の和の公式を利用して計算
CHART 繰り返しの操作 番目と (n+1) 番目の関係に注目
(1) 右の図の△OO+Hについ
基本49
1
⑤ 種々の漸化式
答
て
0n0n+1=rn+rn+1,
OnH=rn-rn+1
LOO+1H=30°であるから
0n0n+1=20nH
よって
+Pn+1=2(rn-n+1)
ゆえに n+1=
rn
3
また n=1
Vn+1
On+1
-30°
H
よって,数列{r} は初項1, 公比 1/12 の等比数列である
から
rn=
(2) Sn=πrn²=π|
2
3
n-1
n-1
=x ( 11 ) であるから
S+Sz+ ...... +Sn=
71-(1)"}
π
1-1
-
/ 11 (4)
9π
8
半直線PO7 は XPY
(=60°)の二等分線。
PX//O+1H ならば
∠OO+1H=30°
よって
00+1:OH=2:1
数列{Sn} は初項 π,公
比 1 の等比数列。
