Question

まかろん

数列の問題です

半径を二乗する時に模範解答では1/3を二乗しているのですが私は2枚目のように二乗しました。
私の二乗の仕方で計算を進めていくと答えにたどり着くことができませんでした。

この二乗の仕方は間違っているのでしょうか？また、この二乗の仕方でも求められる場合、答えまでの途中式を教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

基本 例題
00000
XP(=60°)の2辺 PX, PYに接する半径1の円を 0 とする。 次に, 2辺
PX, PV および円 01 に接する円のうち半径の小さい方の円を 02 とする。
同様にして順に円OOを作る。
以下、同様にして順に円 3,0
(1)円0の半径rn をnで表せ。
(2)円Omの面積を Sn とするとき, S+S2+…+Snをnで表せ。
指針
(1)
円0 0+1の場合について,図をかいて, n+1 と rnの関係を調べる。
このとき、3辺の比が1:32の直角三角形に注目する。
(2)等比数列の和の公式を利用して計算
CHART 繰り返しの操作 番目と (n+1) 番目の関係に注目
(1) 右の図の△OO+Hについ
基本49
1
⑤ 種々の漸化式
答
て
0n0n+1=rn+rn+1,
OnH=rn-rn+1
LOO+1H=30°であるから
0n0n+1=20nH
よって
+Pn+1=2(rn-n+1)
ゆえに n+1=
rn
3
また n=1
Vn+1
On+1
-30°
H
よって,数列{r} は初項1, 公比 1/12 の等比数列である
から
rn=
(2) Sn=πrn²=π|
2
3
n-1
n-1
=x ( 11 ) であるから
S+Sz+ ...... +Sn=
71-(1)"}
π
1-1
-
/ 11 (4)
9π
8
半直線PO7 は XPY
(=60°)の二等分線。
PX//O+1H ならば
∠OO+1H=30°
よって
00+1:OH=2:1
数列{Sn} は初項 π,公
比 1 の等比数列。

2
2
3
120-2
2
大

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

まったく問題ありません
結果は同じです

底を2乗する方が
（この場合、下 手に指数をいじらない方が）いいです

公比が(1/3)²つまり1/9と読みとれますね

そのあとの「答えにたどり着けなかった部分」
を添付して聞いてもらった方が、
よりよい回答が得られると思います

まかろん

ありがとうございます！
写真が答えにたどり着けなかった部分なのですが、良かったらどこが間違えているのか教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

和

上で答えた通りです
まずは図を見てほしいです…

この数列の公比は1/3ではなく、
(1/3)²つまり1/9です
公比を間違って読み取っています

まかろん

すみません、勘違いしていました
ご丁寧にありがとうございます🙇🏻‍♀️

まかろん

度々すみません🙇🏻‍♀️

図をかくのが1番だと思うのですが図をかかないで考えると、シグマを使う時には写真のように指数が何か(〇)でくくれた場合、底を〇乗してから計算しないと求められないということですか？

和

図を描く（ここでは数列を具体的にいくつか書き並べる）
というのは、どんな数列かをはっきりさせるためにやっています

はっきりさせないと、この数列が等差なのか等比なのか
その他の数列なのかわからず、和を求めに行けないわけですね

そういう何もわかっていない時点なのに
指数をどうのこうのして公比は何だろうとやっているのは、
何だか話の順番がおかしいと思いませんか？

数列をほんの2,3項でも書くとかしたほうが、
よっぽど手間もないし時間もかからないと思います

が、それでも式をいじることを先にやりたいんだ、
ということであれば、とめませんが……
その場合は、以下のようにしてはどうですか

a,rを定数として、a×rⁿ⁻¹の形になる数列が等比です
Sn = π×(1/3)²ⁿ⁻²の指数部分をn-1にして初めて
初項aや公比rが判断できるので、変形します
　Sn = π×(1/3)²ⁿ⁻² = π×(1/3)²⁽ⁿ⁻¹⁾
　= π×( (1/3)² )ⁿ⁻¹ = π×(1/9)ⁿ⁻¹
だから、初項π、公比1/9の等比といえます
要するに、とにかく指数を「n-1」にするわけですね

しかし、これは無駄が多いですね
というのも、初めに( (1/3)ⁿ⁻¹ )²という式があったのだから、
指数を交換して( (1/3)² )ⁿ⁻¹とすれば済む話だからです

最終的にSnの和を求めること、
(1)の結果が等比であることなどから、
指数をn-1にするという方針を念頭に置くことで、
2とn-1を掛ける手間をかけずに進めることができます

「指数が何かでくくれた場合〜」の質問は、
本問の状況としては間違ったことは言っていない、という感じです
n-1をつくるから○がじゃまということですね

また、シグマは本問において出してくる必要性がありません
それほ模範解答を見てもわかりますね
シグマを出してきても問題はありませんが、
特に話が前進しないですよね
その意味で、質問の「シグマを使う時には〜」の部分は不要です
シグマの有無と、底を○乗するしないは、関係ありません

まかろん

理解できました！！
何度もすみませんでした。