Question

かい

184のかっこさん
直線上のところなぜかわかりません

C
(3)△OAH の面積を求めよ。
[12 九州大 文系]
(2)点Pが上を動
Co
Co
184.〈球に内接する四面体の体積の最大値 7/7
座標空間内の球面 x2+y2+22=9上に3点A(3,0,0), B2, 1,2,1,2,2)を
とる。
(1)△ABCの面積を求めよ。 ○
(2)3点 A,B,C を通る平面に、原点から下ろした垂線の足日の座標を求めよ。 X
5
(3) 球面上を動く点Pを頂点とする四面体 PABC を考え, その体積をVとする。Vの
最大値と, そのときの点Pの座標を求めよ。
[14 同志社大 ]
of
P,Qの座標と,そ
・・・・
C
189. <座標空間での
点A(1, 2, 4) を通
して同じ側に2点
(1) 平面 αに関し
(2) 平面上の点
応用問題
B
必解 185. <ベクトルの等式と三角形の面積比〉
k を正の実数とする。 点Pは△ABCの内部にあり, kAP+5BP+3CP=0を満たし
ている。 また, 辺BC を3:5に内分する点をDとする。
(1) APを, AB, AC, k を用いて表せ。
(2)
D は一直線上にあることを示せ。
3点A,P,
(3)
ABP の面積を S1, BDP の面積をSとするとき, S1 S2 をkを用いて表せ。
(4) △ABP の面積が △CDPの面積の倍に等しいとき,kの値を求めよ。
184 〈球に内接する四面体の体積の最大値〉
[滋賀大経(後期)]
(2) AH=sAB+tAC (s, tは実数) とおく
大
OH+AB, OH IAC を利用して s, tを求める
(3) 底面を△ABC と考えると,底面積は一定
高さが最大となるとき, 体積Vも最大となる
(1) AB = -1, 1, 2), AC = (-2, 22) であるから
|AB=(-1)2+12+22=6,
|AC=(-2)2+(-2)2+2=12,
AB・AC=(-1)×(-2)+1×(-2)+2×2=4
よって
△ABC=12ABACF-(AB・AĆ)
=1/126×1221256=√14
は
と
との
の
(2)H は平面 ABC 上にあるから, AH = sAB+tAC となる実数 s,
tがある。
って OH=OA + sAB+tAC
OH⊥平面 ABCであるから
ゆえに
・①
OHLAB, OHAC
OH.AB = 0, OH・AC = 0
OH･AB=0から (OA+sAB+tAC) AB=0
よって
OA・AB+s|AB+tAB・AC = 0
ゆえに 6s+4t=3... ②
OH･AC = 0 から (OA+sAB+tAC) AC=0
よって
OA・AC+ sAB・AC+1|ACF=0
OH=OA+AH
OH 平面 ABC から、
OH は平面 ABC 上の茹で
ないどんなベクトルとも垂
直である。
OA・AB
=3×(-1)+0×1+0x2
=-3
-OA-AC
=3×(-2)+0x(-2)+0×2
=-6
ルがに
ゆえに 2s+6t=3
③
② ③を解いて
3
3
S=
14'
これを①に代入して
OH= (3, 0.
0)+1/23 (-1, 1, 2)+(-2,-2, 2)
数学重要問題集(文系)
151
3.&.A.B.C
=(-5,5
c)=(-2
21-509
1 - AB = 0 c
代して

=
HOABE→ OH
こxy
<S=x+u=
stt+m=1
25-27=
✓上にある)
-(-4)
9
④
よって, 点Hの座標は
27
9
14
(3)Vが最大になるのは,△ABC を底面と考えると,高さが最大に
なるときである。これは3点P, 0, Hがこの順に一直線上にある
ときである。
④ から, OH = 1/1 (3,-1, 2)であり
OHの成分とHの座標は一
致する。
◆P が直線 OH上でOに関
してHと反対側にあるとき。
S=
指針
18
次
=
14
OH= |OH|= 4√3²+(-1)²+2² =
9
9/14
=
14
よって, 高さ PH の長さは
AO)-HAON-HAOA
PH=PO+OH = 3 +
9/14
◆PH= (球の半径) +OH
14
(解
であるから,Vの最大値は, (1) から
×√14 × (3+9√14)=
=3+√14
Vが最大となるとき
OP= -3x
OH
14
=-3x-
JOH
==
3√14 (3, -1, 2)
14
9
9/14 X14 (3,-1, 2)
よって、求める点Pの座標は(-23-3/4)
31 185 〈ベクトルの等式と三角形の面積比〉
4AP+6BP+cCP=1 の形
すべてのベクトルを点Aに関する位置ベクトルで表して式変形
OPはOHと向きが反対で
大きさが3のベクトル。