Question

波瑠

数3微分の問題です。dy/dxの方はわかるのですが、d^2y/dx^2(2回微分?)の方がどうしてこの式なのかもよく分からないので教えてください。

基本 例題 78 陰関数の導関数を求める
2
| 方程式 4
=1
4
9
①で定められるxの関数 yについて,
(
と
00000
dy d2y
dx
dx2
を
それぞれxとy を用いて表せ。
/p.129 基本事項 2, 基本 64 重要 80、
3
指針
方程式 ①をyについて解くとy=1/2x4
...
②
方程式①の表す曲線 (双曲線)
YA
(ス)
しかし,一般に計算が面
(これをxで微分してもよい。
3
倒であり, yについて解くのが困難なこともあるから,
有効な方法とはいえない。 そこで,①の両辺を x
微分することによって求める。 このとき, yは定数で
はなく,xの関数として扱うことに注意する。
-2 0
2
y=
32
x
①の両辺をxで微分すると
解答
4 9
よって, y≠0のとき
dy_9x
dx 4y
(*)
また,この両辺をxで微分すると
d
2x_y.dy_og() () ()
=0
d/y2
=
dx
d/y2\dy
dy 9 dx
2y dy
9 dx
4 dx
ここで
dx
9
合成関数
=
||
9x
の微分法
d'y
91˙y-xy′ 9
y-x・
4y
=
dx2
4
1,2
|y' =
4
12
dy 9x
=
dx 4y
を代入。
=
9(4y2-9x2)_9·(-36)
16y3
81
=
与えられた方程式から
=
16y3
4y³
9x2-4y2=36 30
注意 (*) に ② を代入すると
dy
y =
3x
=±
2+(
dx 2√√x2-4
これは②をxで微分した式に一致している。

Answer 1

🍇こつぶ🐡

dy/dx＝y’

y’’＝d/dx(y’)
＝(d/dx)(dy/dx)

Answer 2

Yoshimarukun

まず積の微分法から
{f(x+h)･g(x+h)-f(x)･g(x)}/h
={f(x+h)･g(x+h)-f(x)･g(x+h)+f(x)･g(x+h)-f(x)･g(x)}/h
={f(x+h)-f(x)}/h･g(x+h)+f(x)･{g(x+h)-g(x)}/h
=f'(x)･g(x)+f(x)･g'(x)(h→0)

したがって
{f(x)/g(x)}'=f'(x)･{1/g(x)}+f(x)･{1/g(x)}'・・・＊
ここで
{1/g(x+h)-1/g(x)}/h=-{g(x+h)-g(x)}/{g(x+h)･g(x)}･h
= -{g(x+h)-g(x)}/h･1/{g(x+h)･g(x)}
=-g'(x)/{g(x)}^2(h→0)
であるから
＊= f'(x)･{1/g(x)}-{f(x)･g'(x)}/{g(x)}^2
= {f'(x)･g(x)-f(x)･g'(x)}/{g(x)}^2

以上より、商の微分法は

{f(x)/g(x)}'= {f'(x)･g(x)-f(x)･g'(x)}/{g(x)}^2
です。
dy/dx=9x/4y=9/4･x/yなので
d^2y/dx^2=9/4･(y-x･y')/y^2
=9/4･(y-x･dy/dx)/y^2
=9/4･(y-9x^2/4y)/y^2
=9(4y^2-9x^2)/16y^3
=9･(-36)/16y^3
=-81/4y^3