基本例題98 2直線の垂直, 直線と平面の垂直
エ四面体 ABCD について,次のことを証明せよ。 点にゆ
n辺 ABの中点をMとする。
「 辺 ABは平面CDM に垂直である。(イ)辺ABと辺 CD は垂直である。
0)辺BC, AC, AD, BD の中点をそれぞれ P, Q, R, S とするとき,四角形
PQRS は正方形である。
サ田p.457 基本事項 2, 4
針> (1)(7)直線と平面の垂直に関する, 次の定理(b.457 基本事項 4) を利用する。
直線んが,平面a上の交わる2直線に垂直→直線ん上平面 α
平面 CDM上の交わる2直線 CM, DM に対し,ABICM, ABIDM を示す。
よる() 直線ん上平面 α→直線んは平面α上のすべての直線に垂直
したがって,(ア)が示されれば直ちにわかる。
(2) PQ=QR=RS=SP はわかりやすい。後は, 1つの内角が90°であることをいいたい。
多
そこで「平行な2直線の一方に垂直な直線は他方にも垂直である」ことを利用する。
(1)()より ABICDであるから,このことと AB/PQ, CD/QR より PQLQR
解答
(1)(ア) CM, DMはそれぞれ,正三角
形 ABC, ABDの中線であるから
CMIAB, DMIAB
よって,辺 ABは平面 CDM に垂直
である。
(1)(ア)から
(2) 正四面体の各面の正三角形において,五角形以A
中点連結定理から
A
正三角形または二等辺三角
形の中線は,底辺の垂直二
等分線と同じ。平 AO
M
>D
B
ABICD より小
(辺 CD は平面 CDM 上にあ
る。
R
(4辺とも正四面体の辺の半
各面が PQ=QR=RS=SP
また,AB/PGQ, AB/RS から
分の長さ。
D
PQ/RS
P
よって,4点P。Q, R, Sは同一平画
上にある。
S
(平行な2直線で平面が定ま
B
る。
(中点連結定理
更に,CD/QI
D/QRでもあり、VDいから
ABICD
APQ/AB, ABICD
の
ゆえに PQIQR すなわち ZPQR=90°
各辺の長さが等しく, 1つの内角が 90° であるから, 四角形
PQRS は正方形である。
→ PQICD
QR/CD, PQL CD
→PQIQR
