636 第9章 平面上のベクトル
例題 364 円のベクトル方程式(2)
平面上の△ABC と動点Pについて,次の等式が成り立つとき, 点Pは
どのような図形上を動くか.
(1) (AP+BP).(AP-2BP)=0
325 142-152032.
解答
る。本問では, 辺ABの中点を基点とすると考えやすい.
(1) ABの中点 M を基点とし, 3点A, B, P の
位置ベクトルをそれぞれà, -a, p とすると,
(AP+BP).(AP-2BP)=0 lt,
(2) AP BP=AC BC
.
{(p-a)+(p+a)} {(p-a)-2(p+a)}=0
2p (-p-3a)=0
(+3d)=0.①
したがって,
-2-10²
2-0
172
p.{p-(-3a)}=0
ここで, -3a は, 線分AB を 2:1 に外分する点D/
の位置ベクトルを表す.
よって, 点Pは,線分 ABの中点Mと, AB を 2:1
に外分する点Dを直径の両端とする円の周上を動く.
(別解1) ①より, p.p+3p・a=0
(5+3a).(+3à)=2à·à
り
よって 2012/01/12/02 より
|--|-|28|(一定)
ここで,
する点Eの位置ベクトルを表す .
したがって, 点Pは, AB を 5:1 に外分する
点Eを中心とし、ABの中点を通る円の周上
を動く.
は,線分 AB を 5:1 に外分
A(a)
=0
M
* * *
x2-3ax+y2=0
3
(x-2)*+1²=(2a)* 30 (5)
+y
B(-a)
A(a), B(6)
の両端とする円の
(別解2) 座標平面上で, M(0, 0),A(-α, 0), B(a,0), P(x,y) とすると
AP= (x+α, y), BP = (x-a, y) より,
AP+BP = (2x, 2y)
AP-2BP=(-x+3a, -y)
クトル方程式は、
(p—à)·(þ-b)-
したがって,
(AP+BP) (AP-2BP)=2x(-x+3a)+2yx(-y)
中心C(C), 半径
の円のベクトル
|xt|p-c=r
