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2021年度 文系 [1]
iを虚数単位とする。 以下の間に答えよ。
Level B
201
(1)=2.3.4.5のとき(3+1)*を求めよ。 またそれらの虚部の整数を10で割っ
た余りを求めよ。
(2)を正の整数とするとき (3+i)" は虚数であることを示せ。
(1)
ポイント (1) (+)=(3+i) (3+i) を用いて順に計算する。
(2) (1)から実部, 虚部をそれぞれ10で割った余りが推測できるので,数学的帰納法を
用いて,そのことを証明する。
解法
(3+i) =9+6i+i=8+6i
(答)
(3+1)=(3+i)(3+i) = (8+6i) (3+i)
= 24 +26i + 6i = 18+ 26 ...... (答)
(3+i) = (3+i) (3+i) = (18+26i) (3+i)
=54+96i +26i = 28 +96z
(答)
(3+1)=(3+i) (3+i) = (28+96z) (3+i)
=84+316i+96i=-12+316i ...... (答)
1
§2 整数 数列 式と証明 85
= {10 (3a-b+1) +8}+{10 (a +3 + 2) + 6}i
よって、(3)の実部 虚部はいずれも整数であり,実部 虚部を10で割った
余りはそれぞれ8,6であるので, n=k+1のときも①は成り立つ。
[I][II]より2以上の整数nについて① が成り立つ。
したがって、nが2以上の整数のとき,(3)”の虚部は0ではないので,(3+j)"は
虚数である。
数である。
M
また、n=1のとき,3+iは虚数であるので,nを正の整数とするとき,(3+i)"は虚
〔注〕 (2) (1)の結果から,n≧2のとき虚部を10で割った余りはつねに6と予想されるが,
(証明終)
数学的帰納法を用いて証明するので,実部を10で割った余りが8であることもあわせ
て証明する。なお,n=5のとき,実部は-12=10×(-2)+8であるので, 10で割った
余りは8である。 n=1のときは別であるので注意すること。
平
またこれらの虚部の整数を10で割った余りは,いずれも
13とする
6 (答)
(2) 2以上の整数nについて
(3+i) の実部虚部はいずれも整数であり、実部 虚部を10で割った余りはそ
れぞれ8,6である」 ・・・・・・①
(
(dp)=in
が成り立つことを数学的帰納法で証明する。
[I] n=2のとき
(d)-8
(3+ 1) =8+6iの実部は 8. 虚部は6であるので、①は成り立つ。 4
[II] n=k (k=2,3,4, ...) のとき, ①が成り立つと仮定する。
このとき,a,b を整数として(3+i)=(10a+8) + (106) iとすると(ds)
(3+i)+1=(3+i)*(3+i) ={(10a+8) + (10b+6)}(3+i)
= (30a +24) + (10a +30b+26) i+ (10b+6) i²
= (30a-10b+18) + (10a +30b+26) i
