2枚目が私が解いたものです。答えはπになるはずなのに変わってしまいます。 どこが間違えているのか教えて欲しいです🙇よろしくお願いします！

2 (4) √4-x² dx 0 2

①はなぜ成り立つのか分かりません🙇 よろしくお願いします。

コ 例題 35 置換積分法 不定積分 S e2x ex+2 dx を求めよ。 dt 解 ex+2=t とおくと, ex dx =ex であるから, exdx=dt 与式=+2 edx=$1=2d=S(1-2) dt=t-210g|t|+C. =ex+2-21og(ex+2)+C=ex-2log(ex+2)+C OC=2+C₁

マーカーのところの式変形で、なにかの公式を使っていて、途中式もなく計算できているんですか？ それとも途中式を省略しているだけですか？公式を使っているならその公式を知りたいです🙇‍♂️

結閉 たい。 みん 基本 例題 261 媒介変数表示の曲線と面積 (1) 介変数によって, x=4cost, y=sin2t 囲まれた部分の面積Sを求めよ。 431 ①①① (0≦ts) と表される曲線とx軸で 重要 190 重要 262 > 媒介変数を消去してy=F(x) の形に表すこともできるが、計算は面倒になる。 そこでx=f(t), y=g(t) のまま, 面積Sを置換積分法で求める ① 曲線とx軸の交点のx座標(y= 0 となるtの値を求める。 ①の変化に伴う、xの値の変化や」の符号を調べる。→微分して、増減表 ③面積を定積分で表す。 計算の際は,次の置換積分法を用いる。 s=Sydx=Sg(t)f(t)dta=f(a), b=f(8) 8章 38 面 積 dx == -4 sint dt dx=-4sintdt 解答 ① の範囲で y=0 となるtの値は t=0, π 検討 2 2 また、①の範囲においては, 常に y≧0 である。 x=4costから よって 0-1 120 xtの対応は次の通り。 0 2 x 4 → 0 点がPであるか y=sin 2t から また,Ostsでは20で π t 0 π 4 =2cos2tであり, 2 dx あるから, 曲線はx軸の上側 の部分にある。 dt 0 - dt ☐ t=- =0 とすると xC 4 dt ゆえに、右のような表が得 dy + + + + 2√2 0 0 - られる ( は減少 は増 dt 加を表す) * ) y 0 7 K 1 1 0 。 よってS=Soydx 外して整理するど 面積の計算では、積分区間・ 上下関係がわかればよいか ら、増減表や概形をかかなく ても面積を求めることはでき る。 しかし、概形を調べない と面積が求められない問題も あるので, そのときは左のよ うにして調べる。 = S sin sin 2t (-4sint)dt として、 (*) 重要例題190 のように ↑,↓ を用いて表 1 (t=0) してもよい。 =4 sin2tsintdt の点の」 0 2/2 4 x =8f sintcostdt 1b12051nia0-11-200 Day = 0 sint(sint)' dt まれた Sを

マーカーのところで、∫の中がx dyになるのはなぜですか？ ∫-cosx dyじゃないんですか？

基本 例題 257 曲線x=g(y) と軸の間の面積 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 (1) y=elogx, y = -1,y=2e, y 軸 (2)y=-cosx(0≦x≦z), y=1/28=-1 427 82 000 指針 まず, 曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 解答 2y軸 p.424 基本事項 3 8 重要263 y x=g(y) d S 常に (1) y=elogx を xについて解きで積分するとよい。 ...... ・・xについての積分で面積を求めるよりも,計算がらくになる。 (2)と同じように考えても,高校数学の範囲ではy=-COSx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 なお,(1),(2) ともに別解のような、長方形の面積から引く方法 y でもよい。 x=ar C (1) y=elogx から y=10gax x=ee S= g(y)≥0 s=gydy (1) の別解 (長方形の面積か y YA よっ -e2. x= ら引く方法) -1≤y≤2e T\ x>0(x) 2e 12e 1 よってS=Setdy=[ez] (2) =eeee1分5 ①とする=e-e-2/ よび直線 y=x に関して対称である。 (2)y=-cosx から dy=sinxdx -1 お 2e+1 y よって は 8.S である。[ S=xdy= fxsinxdx 58 x 3 (051) 5 2 から 3 --xcosx}" + f2" cosxdx X COS X T π 3 123 !e2 → ↑ 1 S=e²(2e+1) -S" (elogx+1)dx =2e3+e² -[e(xlogx-x)+x] =e³-e¹-1 2 (2)の別解 (上と同じ方法) S=(1+1) -cosx+1)dx 2 → π 3 1 inx- 3 y=-cost 3 1部分の 2. S 233 2 π 2 3 -*+*+0- 3 6 π 2 2 +[sin x] π 0 π x 2 π 2 2 2 3" 8/3

（2）で答えにy=x＋1が含まれていないのは何故でしょうか？教えて頂きたいです。

x= 2=1+A A=1 ←A≠0 を満たす。 したがって,解は 0 y=1+1 練習()内のおき換えを利用して、次の微分方程式を解け。 270 dy_1-x-y (1) (x+y=z) dx x+y (2) dy=(x-y)² (x-y=2)

注意のとこの-1<sinx<1のとこって何故-1≦sinx≦1じゃないんですか？？

解答 dx 16 不定積分 Scatx を求めよ。 COS X 指針 三角関数に関する不定積分(置換積分法の利用への工夫) 被積分関 数はこのままではf (sinx) cosx の形でない。 そこで, 分母・分子に COS x を掛けて, f(sinx) cosx の形にする。 注意 Sed よって dx = COS X cos²x 1 COS X dx =√1-sin²x COS X sinx=t とおくと cos x dx=dt dx dt 10 1 1 ゆえに 10²K² S d x = S ₁ ² ² ² = ²2² S ( ₁ ² ² ₁ - 1 -² -₁ ) di dt COS X 1-t² t+1 t−1 (log|t+1-log|t-1) + C log+C-log 1 1+sin x =log 1-sin x 2 dx +C -P. 228 −1<sinx<1&D sinx+1>0, sinx+1|_ sinx+1 sinx−1 –(sinx-1) 1–sinx xe (800-1)(xx'ne sinx+1+c\ +C |sinx−1 sinx−1<0 MAE 1+sinx 0 2 0 Bise

【至急お願いします】 数iiiの置換積分法の問題です。 √a^2-x^2 =√a^2(1-sin^2x) の過程がわかりません。 教えて欲しいです！

=asin0 とおくと と 0 の対応は右のようにとれる。 >0であり,00のとき cos0≧0 あるから dx=a cos 0 do よって X = 0 S√a²-x² dx=S² (a cos)a cos de =a²S²+ cos²0 de =a²√³ 1 + cos 20 de 2 a² √a²-x² = √a²(1−sin²0) = √√ a² cos²0 = a cos 0 0 - 0 - 1 [0+ sin 20]=a² 2 2 a T 2

答えが2枚目のようになるんですけどどこが間違ってますか？部分積分法の公式を使ったんですけど、こう言う時って置換積分法を使うんですか？置換積分法と部分積分法の使い方の違いがわからないです

(3) - - 6x 3x² + d x f6x (3x²_ 5)- de 60 s (3x²-5) ¹ - 6x de (3x²= 55-6-ff (32²-5) ³² (x ²³6 x ²4 dz 6 (3x²-5) + 18x² (3x²-5)² ✓ 18x²³²-30+ 18x2 (3x-5) 2 36x2-30 2 (3x²-5) ²

この積分のやり方を教えてください。

問 7-11 次の不定積分を求めよ. (1) fxe¯x² dx (2) S2²+1 dx X (3) S 1-x² dx

数3の積分（置き換え）についてです これの(2)で√2－1＝t で置き換えるとインテグラルを外した後に積分定数cにダッシュをつけてc´ －2＝cとしているのはどうしてですか？

Think 例題140 置換積分法 (1) 次の不定積分を求めよ. (1) Sx(2x-1) dx 「考え方 解答 S dx = 1/2*1). より dt よって, 805- (Biel (1) 展開するのではなく, 2x-1=t とおいて考える. (2)√x=tとおく(√x-1=t とおいてもよい) C は積分定数とする. (1) 2x-1=t とおくと, t+1 x=- mm²n =dt dx= 168 (2)√x=t とおくと, dx -=2t より, dt よって, min t+1 Sx (2x - 1)³dx=S1-11 2 2dt -t°(6t +7) +C= 1 168 = ¼/S (tº +t³) dt = - t ³)dt = 1 + 1 € + 1 + 1 + + C 47 46 (2) x=t2 dx=2tdt S√/₁₁²_₁dx=S₁²₁ · ²tdt ~ (別解) x-1=t とおくと, dx -2t+2 より, dt 1 Sdx 1 2 置換積分法と部分積分法 309 -(2x-1)(12x+1)+C [2(t-1)+2 dt = √(2 + ₁ 2²₁) dt t-1 =2t+2log|t-1|+C=2√x+log(√x-1)'+C -dx x = t2+2t+1 KATAL =2√x+10g(√x-1)+C dx=(2t+2)dt 1200=1 A nie Sxdx=Sz(2x+2)at=S(2+2)at =2t+2log|t|+C'′=2(√x-1)+210g|√x-1|+C′ **** 12th 両辺をtで微分する. RED3 12dt を微分形式と いう. (p.307 参照) dx に 1/2dt を代入す る。 最後はxの式に戻す. m mmmmmmmmm 2tdt を微分形式と いう. (p.307 参照) dx に 2tdt を代入す る. fdx=log|x|+C 最後はxの式に戻す. x=g(t) とおくと (f(x)dx=Sf(g(t))g' (t)dt dx に (2t+2)dt を 代入する. C'′-2=Cとしている. 最後はxの式に戻す. 第5章