のとき
手に一致
111
基本 例話 65 垂線の足, 線対称な点の座標
2点A(-3, -1, 1), B(-1, 0, 0) を通る直線をとする
1点C(2,3,3)から直線に下ろした垂線の足Hの座標を求めよ。
(2)直線lに関して,点Cと対称な点の座標を求めよ。
基本63
指針
点
を利用する。
注意
(1) AH=kAB(kは実数) から CH を成分で表し, ABICH
垂直 (内積) = 0
となる実数がある。
は直線AB上⇔A□=kAB
O
点Cから直線 l に下ろした垂線の足とは,下ろした
垂線と直線lとの交点のこと。
A
B
H
(2) 線分 CD の中点が点Hであることに注目し, (1) の結果を利用する。
D
解答
(1)点Hは直線AB 上にあるから, AH=kAB となる実
数がある。
よって
CH=CA+AH=CA+kAB
TRAH
2
2章
=(-5,-4,-2)+k(2, 1, -1)
=(2k-5,k-4,-k-2)
(*)
ゆえに
ABCH より AB・CH = 0 であるから
2(2k-5)+(k-4)-(-k-2)=0
k=2 このとき, 0を原点とすると
OH=OC+CH=(2, 3, 3)+(-1,-2,-4)
80-1200
CA=(-5, -4, -2)
AB=(2, 1, -1)
=20
a46k-12=0
E=OT
1002 <k=2を(*)に代入して
=(1, 1, -1)
したがって,点Hの座標は
(1, 1, -1)
(2) OD=OC+CD=OC+2CH
したがって, 点Dの座標は(0-1-5)
CHを求める。
OD=OH+HD
=(2, 3, 3)+2(-1,-2,-4)=(0, -1, -5)から
=OH+CH
から求めてもよい。
200-1=TO
と
正射影ベクトルの利用
目
(1) は, 正射影ベクトル (p.57 参照) を用いて,次のように解くこともできる。
討 AB=(2, 1, -1), AC=(542) であるから
ゆえに
AC・AB
AH=AC AB
ABI²
=1/2AB=2AB
OH=OA+AH=OA+2AB
ACAB=5×2+4×1+2×
|AB=2+12+(-1)=6
C
=(-3,-1,1)+2(2, 1, -1)=(1, 1, -1)
