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第2章 複素数平面
基礎問
29円(I)
(Ⅱ) 80
89
複素数zは|z-(1+i) | =1....･･ ① をみたしている。このとき,次の
問いに答えよ.
(1)点zは複素数平面上で,どのような図形をえがくか.
(2)|z-2の最大値、最小値とそれらを与えるzを求めよ。
精講
(1) ① は点1+iと点の距離はつねに1であることを示しています。
(2)|z-2は点と点2の距離を表します。
解
(1) 点と点1+iの距離は1だから,
zは点1+iを中心とする半径1の円をえがく.
(z),A(2) とおくと, z-2は線分APの長
さを表すので,Aと 1 + iを通る直線と円
|z-(1+i)|=1 の交点を図のように B, C とする
と, APの最大値は AC で,最小値は AB
1
Y
1B
-Cis
:1 2
よって,最大値は√2+1, 最小値は√2-1
次に, α=1+i, β=1-i とおくと,最大値を与え
-1
るは
1
√2
√2
a+ -B)=1+i-1-1 (2-1)+(√2+1)
S
=
√2 (as)
(2-√2)+(2+√2)i
また, 最小値を与えるは
a+
√√√√ B=1+i+
=
√2
1_i__(√2+1)+(√2-1)i
(2+√2)+(2-√2i
√2
YAC
D (1+i)
2
注 最大値、最小値を与えるはベクトルのイ
メージ (19) で求めています。 右図のように,
D(1+i), E(1-i) とおくと,
B
A
2
-1---
E(1-i)
