79 微分法のグラフへの応用 (III)
log x
y=
(x>0) 増減 極値,凹凸,変曲点,漸近線を調べて,グ
ラフの概形をかけ. ただし, lim
=0 を用いてよい.
10001
e
78と全く同じ問題形式をしていますが, ただし書き 「lim/s=0」の
精講
部分に違和感がありませんか?
これが,漸近線を求めるために与えてあることは想像できるでしょうか?
しかし、与えられた関数は対数ですからこのままでは使えません.
1
・x-logz.1
y' = x
1-logx
202
2
解答
られる
'=0を解くとx=e
立
1
y"=x
x4
x²- (1-10g.x) ・2
-3+210gg=0を解くとx=el
よって、増減、凹凸は右表のようになる
ので
IC
0
...
e
...
e2
y'
+
0
極大値 1/(x=eのとき),
e
y"
-
0
+
変曲点 (ed.)
3 3
ez,
y
↑
3
2ez
1e
3
2
2ež
ここで, lim
log x
=18
x+0 IC
(注1)
ゆえに、y軸が漸近線.
t=logx とおくと,et=elogzx (注2)
t
log x
..
et
JC
YA
そして,x→∞のとき→∞であるから
e
log x
y=
2C
lim
→8 IC
log x
t→∞
=lim =0 となりx軸も漸近線.
3
2ež
mil
よって, グラフは右図.
01
e
20
e2