9nを2以上の自然数とする。1個のさいころを続けてn回投げる試行を行い,
出た目を順に X,, X。 …, X,とする。
……, X, の最大公約数が3となる確率をn の式で表せ。
……, X, の最大公約数が1となる確率をnの式で表せ。
(3) X, X, , X, の最小公倍数が20 となる確率をnの式で表せ。
(1)【4点)(2)【4点】 (3) 【4点)
n回の目の出方は全部で6"通り。
解習
X,, X。
………, X,の最大公約数を d, とする。
(1) d,=3 となるのは、
X, X………, X, がすべて3, 6のいずれかであり, かつ,
X, X, ……, X, のうち少なくとも1つは3のときである。
2"-1
よって,総数は (2"-1)通りであり, 求める確率は
6"
(2) d,は1以上6以下の整数である。
d,=3 となるのは,(1)から2"-1 (通り)
d,=5 となるのは,X,, Xg, …,
;X,がすべて5のときで1通り
d,=2 またはd,=4またはd,=6となるのは, X, Xy
2の倍数のときで、そのような組 (X,, X。
ゆえに,d,=1となる総数は
……, X, がすべて
X,)の総数は
3" 通り
6"-(2*-1+1+3")=6" -3*ー2”(通り)
よって,求める確率は
6"
(3) 20=2?×5から,最小公倍数が20となるのは,
……, X,がすべて1,2,4,5のいずれかであり”, かつ
"X,, X, ………, X, のうち少なくとも1つは4で,かつ 少なくとも1つは5
のときである。
X; X, ……, X,がすべて1, 2, 4. 5のい
ずれかであるような組(X,. X,
……, X,)の「すべてが1, 2, 4, 5のいずれか
総数は
4"通り
4を1つも
5を1つも
これらの4"通りの組のうち,4を1つも含ま
ないような組は3" 通り, 5を1つも含まない
ような組は3" 通り, 4および5を1つも含ま
ないような組は2" 通りある。
ゆえに,X,, X。
20 となるような組 (X,, X
含まない
含まない
4および5を1つも含まない
X,の最小公倍数が
X)の総
4"-(3*+3" -2")%3D4"-2-3"+2" (通り)
数は
よって、求める確率は
4"-2-37+ 2"
6"
