厚本例題231/定積分と恒等式
すべての2次以下の整式/(x) =ax*+bx+cに対して,f(x)dx=f(s)+f(t)
計> 2次関数f(x)をf(x)=ax°+bx+c(aキ0) として,与えられた等式に代入する。
35
の次関数子(x) に対しても)(x)dx=;げ(a)+f(B)} が成立するような
2
数4, B (α<B)の値を求めよ。
【神戸薬大)
基本 228
基本 229
た2次関数 f(x) に対しても」とは「どんな定数 a, b, c に対しても」 ということ。
;そがって,等式を a, b, cについて整理 し, a, b, cの恒等式となるための条件を求
40
図に
比較的らく。
める。
重に(特に,マ
(iP-
「 答
目するとよい。
コ(x-a)
=ax+bx+c(aキ0) とする。
(-S(ax*+bx+c)dx=++cx
4f(x) は2次関数。 このと
き,2次の係数 aは0でな
- bx?
い。
1
-b+c
(a)+f(8)}=-(aa"+ba+c)+(aβ"+b8+c)}
部分の面積S
(1)の定積分
= (+8°)a+-(a+B)b+c
バdx=-f(c)+f(8)} がどんな2次関数f(x) に対しても
け
01つ条件は、a+0+c-(+)a+(a+Bb+c
-6+c= (e"+B°)a+ (e+B)b+c
ぐに
3
,4, 6, cについての恒等式となることである。
x
1
1
pa+qb+rc
よって
3'2
=fa+q'b+rc
すなわち
3(°+8°)=2
から
がa, b, c の恒等式である
ための条件は
の, α+B=1
B=1-a
p=が,q=q, r=r
これをOに代入して
理して
3{e+(1-a)}=2
別解 0の式を
3{(α+B)°-2aB}=2 と変形
ト
6a-6α+1=0
1
これを解いて
3土/3
し,2を代入すると aβ=-
6
3
Q=
6
2数a, Bの和と積が求めら
れたから,α, Bは
したがって
3千/3
B=1-α=
6
(3と複号同順)
ガー
-=0 を解けば求め
くBであるから
3-V3
6
3+/3
れる
B=
6
Q=
よく使われる。
31
が常に成り立つような定数ん。
S, tの値を求めよ。ただし, s<tとする。
[県立広島大)
定 積分
