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基本 36 an+= pa,+g”型の漸化式
解答
00000
=3a=20.3 によって定められる数列(大般項を求めよ。
用して考えてみよう。
指針
漸化式 α+1=pan+f(n) において,f(n)=g" の場合の解法の手順は
基本 34 基本42,45
①f(n) に n が含まれないようにするため, 漸化式の両辺を Q+1で割る。
anti-.an1
gg”
- f(n) =
となり,nが含まれない。
[2]=b, とおくとbn+1=
q
→bm+1=@bn+の形に帰着。・・
n+1で割る
CHART 漸化式 αn+1=pan+g" 両辺を g"
an+1=2an+3+1 の両辺を 37+1で割ると
=b とおくと
2
•
an+12.an
3n+1 3 3n
=
bn+1= -bn+1dc=d.
2an
2
an
+1
3n+1
33"
の方針
an
3
3"
(S+ d) Stad
2
これを変形すると
bn+1-3=
(bn-3)-d
3
a1
3
また
b1-3=3
-3=
--3=-2\
3
2
よって, 数列{bm-3}は初項-2,公比
の等比数列で
2n-1
bn-3=-2(3)
an=3"bn=3.3"-3・2・2n-1(*) 33.2"
ゆえに
an=3-2(3)
n-1
an+1=pan+gなど
既習の漸化式に帰着
させる。
特性方程式
2
a=1/23a+1から
α=3
2
よって
J
[別解] an+1=2an+3+1 の両辺を2"+1で割ると
An+1
an
3
+
2n+1
(22)
an
3 \n+1
a1
3
+
2"
よって, n≧2のとき
n=1/3\k+1
bn=b₁+
k=11
n-1/2
=b₁+ Σ
k=1\
(2)()-1)
3
2
2
=30
3
)
=
=
2¹ 2
2/10)+
①
3-13() -3.0
((+2
=3.31.2.5
2-1
31
an+1=pantq は、
辺を+1で割る方法
でも解決できるが,
差数列型の漸化式の
処理になるので,計算
は上の解答と比べや
や面倒である。
n=1のとき 3(1/2)-3=12/27 b=1/2から、①はn=1のときも成り立つ。
したがって
an=2"bn=3.3"-3.2"=3" + 1-3.2"
ゲーム
a
