（2）でなぜ[1][2]のような場合分けをするという発想になるのかわからないです。教えて頂きたいです。

総合 次の問いに答えよ。 ただし, 0.3010 <logo2<0.3011 であることは用いてよい。 28 (1) 100 桁以下の自然数で, 2以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。 (2) 100桁の自然数で, 2と5以外の素因数をもたないものの個数を求めよ。 (1) 2"<1010 を満たす0以上の整数nの個数を求める。 2"<10' の両辺の常用対数をとると log102" <log1010100 すなわち nlog102 <100 [京都] 本冊数学II 例題 189 ←k桁の自然数N 10-1≤N<10% ⇔k-1≦log10N <k ゆえに n< 100 log102 ① 0.3010 <log102 < 0.3011 から 100 0.3011 100 10g102 100 0.3010 0.3011 logio2 0.3010 100 0.3011 =332.1..., 100 0.3010 =332.2・・・ であるから, 100 ←332.1 < <332.3 log102 0≦x≦332 の範囲の整数n は不等式① を満たす。 その個数を求めると 332-0+1=333 (個) (2) 100桁の自然数で,2と5以外の素因数をもたないものの個 数は, 10% ≤ 2"5" 10100 ② を満たす 0 以上の整数 m, n の組 (m, n) の個数である。 [1] m≧n のとき n≧100 とすると, m≧100であるが,このとき, 252100.5100 となり, 25"<10100 を満たさない。 n=0, 1, 2, …………., 99 ゆえに ②の両辺を10" で割ると 1099-n≦2m-n<10100-n ←2510100 から, 101 桁以上。 ③ を満たす (m, n) の組の個数は, (100-n) 桁の自然数で, ←(1)の結果を利用する 2以外の素因数をもたないものの個数を表している。 n=0, 1, 2,..., 99 であるから, ③を満たす (m, n) の組 の個数は,100 桁以下の自然数で, 2以外の素因数をもたない ものの個数と同じである。 その個数は, (1) から 333個 [2] m≦nのとき [1] と同様に考えて、②の両辺を10m で割ると 考察にもち込む。 ただし 1099-m≦5n-m10100-m ④ m=0, 1, 2,......, 99 ④ を満たす (m, n) の組の個数は, 100 桁以下の自然数で, 5 以外の素因数をもたないものの個数, すなわち, 5'10100 を 満たす0以上の整数の個数と同じである。 5'101 の両辺の常用対数をとると 10g105′ <log1010100 ゆえに よって (1-10g102) <100 100 1-10g 10 2 (5) 0.3010 <log102 < 0.3011 であるから, ←m100 とすると, n≧100 で, 2"5"≧21005100=10100 となり,不適。 102 ←log105=10g10 =1-10g102 1-0.3011 <1-log102 <1-0.3010 より

微分に着いてです。総合問題30の方で質問があるのですが、類題では（画像3枚目）x＝0になる場合も考えているのにこの問題では考えていないのはなぜですか...？教えて頂きたいです。

用いて表す。 総合 実数a, b に対し, 関数f(x)=x^+2ax3+(a2+1)x2-a3+α+bがただ1つの極値をもち, その 30 極値が0以上になるとき, a, b の満たす条件を求めよ。 f'(x)=4x3+6ax2+2(a2+1)x=2x(2x2+3ax+a2+1) [類 横浜国大] 本冊 数学Ⅱ 例題 218 まず、微分する。 f'(x) =0 とすると x=0, 2x2+3ax+a2+1=0 xの2次方程式 2x2+3ax+a2+1=0 ...... ①の判別式をDと ←① の実数解の個数が するとD=(3a)2-4・2・(a+1)=α²-8=(a+2√2) (α-2√2) X [1] D>0 すなわち a< 2√22√2 <a のとき カギとなる。それはD の符号によって変わって くるから,D>0,D=0, α+1>0より,x=0は①の解ではないから,①はx=0以D<0 に分ける。 外の異なる2つの実数解をもつ。 ゆえに、f'(x) = 0 は異なる3つの実数解をもつ。 この3つの解をα, B, y (a<B<y) とすると, f (x) の増減 x 表は次のようになる。 10 a B r ... ←本冊 p.347 の 参考 参 0 +0 0 + 照。 極大 \ 極小 > f'(x) f(x) 極小 よって, f(x) は極値を3つもつから、不適。 ◯[2] D0 すなわち a=±2√2 のとき ①は重解 x=- 2-2 3 3a == -α をもち 2x2+3ax+a2+1≧0 4 3 ←等号はx=- aのと き成り立つ。 (i) a=2√2のとき 3√√2 f'(x) = 0 は x=0, を解にもつから, 3√√2 XC 0 2 -2 f(x) の増減表は右のようになる。 f'(x) - 20 + 0 + よって, f(x) は x=0で極小となり, 極値0- を1つだけもつから,適する。 f(x) 極小 f √(3√2) (ii) a=2√2のとき f'(x)=0 は x=- 3√√2 2 0を解にもつか 3√√2 XC 0 ら,f(x) の増減表は右のようになる。 2 値を1つだけもつから,適する。 よって, f(x) は x=0で極小となり,極 f'(x) - 0 f(x) (3√2 2 20 ▼ 極小 > : +

微分の問題です。（3）で私は軸を調べずにD≧0の式を立ててしまったのですが、なぜ軸を調べる必要があるのかわからないです。教えて頂きたいです。

総合 AB=x, AD=y, AE=zである直方体 ABCDEFGH が空間内にある。 直方体の対角線 AG 31 の長さを3, 表面積Sを16とするとき (1)x+y+zの値を求めよ。 (2) y+zyz をxの式で表し, xを用いて y, z を解とするtの2次方程式を作れ。 (3) xの値のとりうる範囲を求めよ。 [類 長崎大] (4) この直方体の体積をVとするとき, Vの最大値および最小値を求めよ。 また、そのときの xの値を求めよ。 (1) AG=3から x2+y2+22=9 直方体の表面積が16であるから ←関係式を立てる (x+y+z)2=(x2+y2+22)+2(xy+y+zx)200+ ( 2xy+2yz+2zx=16 よって xy+yz+zx=8 ① ゆえに =9+2・8=25 x+y+z > 0 であるから Bago x+y+z=5 ② (2)②から y+z=-x+5 よって, ① から 本冊 数学Ⅱ例題 69,230 A -N--- D B G E yz=8-x(y+z)=8-x(-x+5)=x-5x+8 ...... ③ ③ia ゆえに,y,zを解とするtの2次方程式の1つは'nfeine t2+(x-5)t+x²-5x+8=0 (3)x2+y2+z2=9から so 0<x<3, 0<y<3, 0<z<3 h(t)=t2+(x-5)t+x2-5x+8とし, tの2次方程式h(t) = 0 が 0 <t<3の範囲に実数解をもつ条件を調べる。 ←2-(和)+(積)=0 これぞ 調べずにやると...? Y=h(t) のグラフは直線t=- x-5 を軸とする下に凸の放物 Y=h(t) 2 線で0<x<3のとき1<-x515から0<x<3 2 2 2 5 2 + 7 0 3 また h(0)=x2-5x+8=(x- + ->0, 2 4 5-% 2 h(3)=x²-2x+2=(x-1)^+1>0 よって, 2次方程式h(t)=0が0<t<3の範囲に解をもつ条件 は, h(t) =0の判別式Dについて ここで D≧0 D=(x-5)2-4・1・(x2-5x+8)=-3x2+10x-7 ←y=z すなわち (t)=0が重解の場合も ある。 =-(x-1)(3x-7) 総合

三角関数の問題なのですが、なぜ分母が０になる必要があるのかわからないです。教えて頂きたいです。

π 21 総合 0<< とする。 cos0 は有理数ではないが, cos20 と cos 30 がともに有理数となるような の値を求めよ。 ただし, pが素数のとき, VD が有理数でないことは証明なしに用いてよい。 [京都大〕 本冊数学Ⅱ 例題 154 cos20=2cos20-1から 050-1 cos 30=4 cos³ 0-3 cos 0=(4 cos³ 0-2 cos 0)-cos 2倍角の公式。 ←3倍角の公式。 =2cose (2cos20-1)-cos0=2cos ecos 20 - cosed-a =cos 6(2cos20-1) ここで, 2cos20-1 ≠0 とすると cos = cos 30 2 cos 20-1 ① cos 20, cos 30 がともに有理数であるとすると、 ① より cose(0.0)=(8.1) も有理数となる。 よって、条件を満たすには 2cos 20-1=0でなくてはならない。 ←2cos20-1=0である 1 ことは,条件を満たすた すなわち cos 20= 2 めの必要条件。

（2）で0と4の間に-aが入ることになっていますが、-a、0、4や0.4-aの並びになることはないのでしょうか？教えて頂きたいです。

総合 a を実数とし, 曲線C を y=x3+(a-4)x2+(-4a+2)x-2とする。 38V (1) 曲線Cは,αの値に関係なく2定点を通る。 その定点をA,Bとするとき, 点Aと点Bの 座標を求めよ。 (2) 曲線 C が線分AB (点 A, B は除く) と交わるαの値の範囲を求めよ。 (3) a (2) で求めた範囲にあるとき, 線分AB と曲線 C で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 (4)(3)のSについて, Sの最小値とそのときのαの値を求めよ。 (1) 曲線 C の方程式をαについて整理すると (x2-4x)a+x3-4x2+2x-2-y=0 これが αの値に関係なく成り立つための条件は,次の① ② が同時に成り立つことである。 ①, x²-4x=0 ...... 1, x-4x2+2x-2-y=0_ ...... ② [岐阜大] 本冊数学Ⅱ 例題 82,250 ← αの値に関係なく･･･ →αについての恒等式 と考える。

教えてください🙏🏻

問1 次の にあてはまる文字またはことばを答えなさい。 1冊 130円のノートをx冊買ったときの代金を1円としたとき, xの値を決めるとそ れにともなってyの値もただ1つに決まる。このとき,アはイ の関数であると いう。また,変数xのとり得る値の範囲を,xのウという。 2 次の(1)~(4)で,yがxの関数であるといえるものには○, yがxの関数であるといえ (1) ないものには × と答えなさい。 SA (1) 底辺が xcmで高さが6cm の平行四辺形の面積は ycmである。 面積は7cmである。 エ (2) x 時間勉強したテストの点数は点である。 オ (3) 分速xm で歩いて進む道のりが300mのとき, かかる時間は1分である。 (4) 8dLのジュースをxdL 飲んだとき, 残りは ydLである。 A キ 3000 8-ズ: カ

指数関数の問題なのですが、なぜ0＜a＜1とb＜1/aからlogab＞-1が導かれるのか分からないので教えて頂きたいです。

EX ③ 115 (1)x=logab, y=loga 62 のとき,。 よっ 最大の (3)x=logab2,y=log/b のとき,ウ□。 ~の選択肢: 実数a,b が0<a<b</a<bを満たすとき~に選択肢(a)~(d) の中から正しい ものを選んで答えよ。 (2)x=10gaab, y=0 のとき,イ。 b [上智大〕 (4)x=10gb y=loga のとき。 (2) 真殿 (a)x<y が必ず成り立つ lop (d) x <y が成り立つこともx>yが成り立つこともありうる (b)x>yが必ず成り立つ (c) x=yが必ず成り立つ間 <a<から a°<1 ゆえに 5章 a 0.0<a<1 ① n また,0<b<62 から b>1. (2) ←まず, a, b それぞれに ついて, 1との大小を調 べておく。 EX (1) ① と 6 < 62 から loga bloga b² XTEEN<<! ← 0 <a<1のとき よって,x>yが必ず成り立つ。 (b) なら (2) 0<b< b < 1/2から 0 <ab <1 ...... ③ 必ず以下 a ①③から 10gaab>loga1= 0 よって,x>yが必ず成り立つ。 イ(b) (3)x=10ga62=210gab 0<p<q>> loga p>loga q (不等号の向きが変わる) α>1のとき 0<p<q>>> [指数関数と対数関数] 0-(1- ¥118 loga b logab y=log₁b= 1 loga logaa-1=-logab a ここで, ①,② から loga b<0 よって,x<0<y から, x<y が必ず成り立つ。ウ(a) 4 loga p<loga q =1+(不等号の向きは不変) ←底をαに統一。 の 1 (4) x=10g=1-10ga=1- a logaby S.niz い y=logaq=1-logab ここで、①とb<1/2からlog.b>-1 ④ ⑤から a -1<loga b<0 10gab=t とおくと, -1<t<0で x=1- y=1-t ここで x-y= -1<t<0から ゆえに 121-(1-1)=(-1)(12+1)=(-1)(1+t) x-y>0 t-1<0, 1+t>0, t<0 よって、xyが必ず成り立つ。 エ (b) ←logab= loga (本冊 p.284 検討参照。) x, yとも10gabの式に なるから, 10gab=tのお き換えを利用して考える。 tのとりうる値の範囲に も注意。 X3

（3）の解の公式のところがよくわかりません😭 なぜ8の二乗が出てくるのかわからないです！ お願いします🥺

点の gazz 2次関数 点)となるようにとる。 Bのy座標を求めよ。 594 (3) x 関数 グラフは点A(4, 2) を通っている。 y軸上に点B を AB = OB (Oは原 2F160 = a Tes OBAの二等分線の式を求めよ。 ①上に点Cをとり、ひし形OCAD をつくる。Cのx座標をもとするとき、tが満たすべき2 次方程式を求めよ。 また, tの値を求めよ。 [[]]] 10. (3) 2 H J = {x2 A(42) (t. ft²) -2 <OBAの二等分線を△OMBは直角三角形だから 人をすると、lは線OA OB2=6M2+MB2 の中点M(2.1) B CO.b)とすると、OB2=62 を通るよって傾きは OM2+MB2=2+12+22+10 (b) -2となる。 =62-2b+10 また切片がちだから b=b-25+00 (2)y=-2x+5 (1)b=5 8 2 1t2=-2015 8 遠くはこのグラつ上にあるかつ ¥6069-4×40 +2=-16++40 +2+16t-40=0 2次方程式の解の公式により 2 16土 (29

(2)でzが＋-1とそうでない時で場合分けをしていますが、絶対値が1なら必ず＋-1になるのではないのですか？

総合 絶対値が1で偏角が0の複素数をぇとし, nを正の整数とする。 17 (1) 1-220で表せ。 (2) 22k を考えることにより, sin2k0 を計算せよ。 本冊数学C例題 108, 133 k=1 k=1 (1) z=cosQ+isin0 であるから |1-22|=|1-(cos 20+isin20)| = √(1-cos 26)2+sin'20 =√ どうにかして ←ド・モアブルの定理。 [√を外す方法を 考える √2-2cos20=√2-2(1-2sin'0) ←sin 20+cos220=1, cos20=1-2sin20 =√4sin20=2|sin 0| k=1 k=1 k=1 n n よって, sink日はΣz2kの虚部である。 k=1 k=1 n (2) = (cos 2k 0+isin 2k 0)= cos 2k0+i sin 2k0 “= n ←ド・モアブルの定理。 k=1 z2k=(cos0+isin O) 2k =cos2k0+isin2k0 k=1 n [1] z=±1のとき, 22k は実数であるから sin2k0=0 [2] z±1 のとき, z2≠1であるから k=1 2n+2 224=222(22)1_2211-(22)"} 22-221 k=1 k=1 1-z² 1-22 (22-22n+2) (1-22)(22-22n+2){1-(Z)"}←(1)の結果を利用する = (1-22) (1-22) z²+z2n-z 2n+2-1 |1-22|2 ために,分子・分母に 1-2 を掛ける。 また, |zz=|z=1にも注意。 ←z=±1のとき = (n は整数) ←等比数列の和の公式。 22-21-22n+2+1zz2n (2|sin0|)2 4sin20 ( ここで, 22+22n-z2n+2-1の虚部は sin 20+ sin 2n0-sin(2n+2)0 54202251400050 =2sin(n+1)0xcos(n-1)0-2sin(n+1)×cos(n+1)0 =2sin(n+1)0{cos (n-1)0-cos(n+1)0} =2sin(n+1)0{-2sinnOsin(-9)} =4sinOsinnQsin(n+1)0 であるから n Σsin 2k 0= k=1 4sin OsinnOsin (n+1)0_sinn0sin(n+1)0 n 4sin20 sino [1], [2] から, sin2k0 の値は,n を整数とすると ←ド・モアブルの定理。 ←sina+sinβ =2sin a+β a-B COS 2 2 cosa-cos β a+B a-B =-2sin- -sin 2 ← 22k の虚部 [1] k=1 2 k=1 0n のとき 0, 0πのとき sinn0sin(n+1)0 sin A [s] A fic

(2)で出した解を用いて場合分けをしているのはなぜですか？

2x (2) 2x-(3α+5)x+α+4a+3=0 (3) y= -(x-2)* =- -(3α+5)x+(a+1) (a+3)=0 より, x=2で (2x-(a+3)/lx-(a+1)=0 a+3 よって、x= 2 a+1 とる。 (3) 3a-5<2x3a+5を解くと, (i) 3a-5 3a +5 <x< 2 a +3 2 2 -<a +1 すなわち α > 1 のとき 3a-5 > (4) y=3x2-5x 個数は, (-5)2-4 より2個 (5)y=-2x2+ a+3 よって, a<4 2 2 個数は, 3a+5 a+1< よって, a>-3 12-4 (- 2 ゆえに, 1 <a<4 より, 0個 3a-5 a+3 a+1 3a+5 2 (6) 2 2 x26x (x+2)(x- a +3 (ii) 2 -≧a+1 すなわち a≦1のとき より, -2≦ 3a-5 2 <a+1 よって, a<7 (7) x²+x- a +3 3a+5 2 2 よって,a>-1 (x-2)(x+ ゆえに, -1 <a≦1 より, x- 3a-5 a+1 a+3 2 +2 3a+5 2 2 (i)(ii) を合わせて -1<a<4 2次関数 (問題冊子 (1) y=ax2+b 点 (1,0) ( a+b+ e=1