例題18 割り算と恒等式
多項式x+x+bが多項式x+ax+1 で割り切れるような定数a, b
の値を求めよ.
( 津田塾大 )
考え方
解答
割り算の基本公式 A=BQ+R は、恒等式であることを利用する.
x+x+bの最高次の項に着目して、商をx+cx+d とおくと計算が簡単になる.
商をx²+cx+d とおくと, 条件より,
最高次の項に着目し
x+x²+b=(x2+ax+1)(x2+cx+d) ...... ①
1
て,商を x'+cx+d
とおく.
A=BQ + R で
割り切れるから,
R=0
①の右辺を整理すると、
x+(a+c)x+(ac+d+1)x²+(ad+c)x+d
したがって, ① は,
x+x²+b
=x^+(a+c)x+(ac + d +1)x2+(ad + c)x+d
これはxについての恒等式なので,両辺の係数を比較す
ると, a+c=0 ...... ②
ac+d+1=1 ......③
ad+c=0 ・・・・・・④ 4 d=b .....5
② より,
④ に代入すると,
c=-a
ad-a=0 より a (d-1)=0
より, a = 0
または d=1
(i) a=0 のとき,②より.
③.⑤より.
(ii) d=1のとき
②,③'より,
また、⑤より
よって, (i), (ii) より 求める値は,
c=0
b=d=0y
③より
ac=-1
...
***
E-
(a,b)=(0.0). (1,1),(-1,1)
·∙3'
a=±1,c=+1 (複号同順) ー= a.(−a)= -1 より,
b=d=1
パー
a²=1
係数比較法
point
商を文字でおく
