6 放物線/接線
(1) 放物線y=x2の2本の接線g, hが点 (a, b)で交わるとする接線g, hが直交するための
a,bの条件を求めよ.
(2) (a,b)が(1)で求めた条件をみたしながら動くとき,2接線の2つの接点を結ぶ直線
は常にある定点を通ることを示せ
(津田塾大国際関係)
放物線と直線が接する この条件は,放物線と直線の方程式を連立して得られる2次方程式が重解
をもつこととしてとらえることができる (判別式D=0).
また,例えば,y=kx2とy=mx+nがx=αで接する条件は,
kx²-(mx+n)=k(x-α)と表せる・
ととらえることができる (左辺 =0はx=αを重解にもち、左辺の2の係数がんであることから).
放物線上のx= α における接線 通常は微分法でとらえる. ☆を使うこともできる.☆により,
y=kx2のx=αにおける接線の方程式は,y=kx-k(x-α)により,y=2kax-ko となる.
解答
(1)点 (a, b) を通る傾きの直線y=m(x-a)+bがy=x2と接する条件
は,r=m(x-a)+6 :.x-mx+(ma-b)=0
が重解をもつことで, 判別式をDとすると, D=0
D=m²-4(ma-b) が0であるから,m²-4am+46=0
の2次方程式②の実数解が,点(a, b) を通る接線の傾きを表すから, 2接線
の直交条件は、②の2解の積46が-1であること.
したがって,求める条件は,b=-1/2 (αは任意)
一般に,実数係数の2次方程式
x2+c+d=0の2解α βが
αβ <0 を満たすとき, 解と係数の
関係からd <0であり、判別式
D=c4d>0となるので, 2解
は異なる実数であることが保証
