重要例題40 係数に虚数を含む2次方程式
「類専修
F
めよ。ただし,=-1とする。
C
基本35
223 次
(1
iについて整理して (α"+ka+1)+(α°+α+k)i=0
ここで,複素数の相等条件 A, Bが実数のとき A+Bi=0<→ A=t, R-o
を利用する。
G
24
解答
方程式の実数解をx=αとすると
25
iについて整理すると
(c+ka+1)+(α+a+k)i=0
D+ka+1, c。+a+kは実数であるから
0, α+α+k=0
A, Bが実数のとき
a2+ka+1=0
A+Bi=0
(k-1)α+1-k=0
326
の-のから
よって(k-1)(a-1)=0
[1] k=1のとき, ①, ② はともに
判別式をDとすると
D<0であるから, αは虚数解となり,条件に適さない。
[2] α=1のとき, ② から k=-2
→A=0, B=0
ゆえに k=1 または α=1
α+a+1=0
D=1?-4-1·1=-3
実数 αに対して
27
これは①も満たす。
であることから,示して
よい。
したがって
k=-2
別解 [O, ② を導くところまでは同じ]
②から
Oに代入して整理すると
k=-α-a…
3
-1=0
(α-1)(α+α+1)=0
aは実数であるから a+a+1=(α+- +>0
くこれは,高次方程式(a0
次方程式)。
ゆえに
高次方程式の解法は, @28
以後を参照。
(3
よって
α-1=0 すなわち α=1
このとき,3 から
k=-2
検討) 判別式が使える条件
2次方程式 ax+bx+c=0の解の種類を判別するときは, 判別式 D=6-4acを利用して
るが,そのとき, 係数 a, b, cが実数であるという条件を忘れてはいけない。
例えば,方程式 ix+x=0 に対し, 判別式を適用するとD=1°-4·i-0=1>0であり, 異な
つの実数解をもつことになる。 しかし, 方程式を解くとx=0, iであり, 実数解と虚数解を
練習
kを実数の定数, i=-1 を虚数単位とする
A0
