重要例題 221
p.339 基本事項項2, 重要 216,220
m, nを0以上の整数として, Im.n=°sin"xcos"xdx とする。
次の等式を証明せよ。 ただし, sin'x=cos°x=1である。
n-1
-Im.n-2 (n>2)
m+n
(1) Im.n=In.m
(2) Im,n
指針>(1) sin
(-)-cos.x, cos(ーx)=sinx [sin と cos が入れ替わる]に注目し、
ーx=cos x, cos
2
2
T
X=
2
ととおき換えて計算し,後で変数tをxに直す。
(2) sin"xcos"x=(sin"xcosx)cos"-! x として部分積分法 を用いる。
x=sin"xcos"12x-sin"xcos"x から 同形出現。
更に,sin"+2
n-
XCos"-2
解答
(1) x=
2
1とおくと dx=(-1).dt
x
0 →
xとtの対応は右のようになる。
π
t
0
よって
Im,n=sin"x cos"xdx
2
2
T
ーtcoS
2
0cos" (ー)(-1)dt=; sin"xcos":xdx=Imm
sinm
n,
(2) n22のとき
'x cos" x dx=\(sin"xcosx)cos"-xdx=\|
m+1
Sinm+1
Cos”xdx
、n-1
sin"+! xcos'
n-1
x
sin"+1x
m+1
. (n-1)cos"-2x(ーsinx)dx
m+1
n-1x
x cos"
m+1
(sinm+1
n-1
m+2
m+1JSin"*x cos"-2x dx
また(sin**xcos"x
xdx=\sin"xcos"-2x(1-cos'x)dx
m+2
n-2
x COS'
=\sin" xcos"-2x dx-\sin"xcos"x dx
0, 2 から
sin"x«
sin"+1
x cos"
-1
x
x Cos"x dx=
n-1
|sin"xcos"-2x dx
m+n
m+n)
ゆえに
'sin"xcos"xdx=
sin"+!x cos"。
n-1
x
n-1(
m+nJo
2
m+n
sin"x cos"-2x dx
Jo
したがって
Im,n
n-1
Imn-2
m+n
|N
