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重要 例題 190 変量を変換したときの相関係数
00000
xyの平均をそれぞれx,y,xy とし, x, yの標準偏差をそれぞれ Sx, Sy, 共分
2つの変量x,yの3組のデータ (x1,y1), (X2, y2), x3, y3) がある。 変量x,3
散を xy とする。 このとき、 次の問いに答えよ。
(1) Sxy=xy-xy が成り立つことを示せ。
(2)変量zをz=2y+3 とするとき, xとzの相関係数 rx2 は xとyの相関係数
xyに等しいことを示せ。
指針 (1)
基本 185 18
188
S=1/2(x-1)(x) (ューン)) の右辺を変形する。
(2)変量zz=ay+b とするとき, z=ay+b, s2=|alsy (p.306 基本事項参照)
が成り立つ。このことと (1) の結果を利用する。
Xy, + XzYz + X373)
2
3
(08.06.01
(pal0,0s.0)
{(x-x)(フェーン)+(x2-x)(y-y)+(x3-x) (ys-y)}
みとなの共分散、目
(1) Sxy
=
解答
平均
割る
=
=
3
3
{(xy+x2y2+x3y3x(y1+y2+y3)(x+x2+xy+xy}
(x₁₁+x212+x333) - Y₁ + y 2 + y 3 _ x₁ + x 2 + x3.y +x •ÿ
x
3
=xy-xy-xy+xy=xy-x.y
3
(2), xz のデータの平均値をそれぞれ, xz とする。
回 [図 (1)
00g(
また,xとの共分散を Sxz とし,Zk=2yk+3(k=1, 2, 3) とする。
OT
08
x=1/2(x121+X222+x323)=1/32(x(y+3)+x2(2y2+3)+xs(2y+3)
(1)から
Sxz=xz-x・ス
とここで
=2°
よって
3
Sxz=2xy+3x-x ・(2y+3)=2xy-2xy
=2(xy-x.y)=2Sxy
2の標準偏差を Sz とすると, Sz=2sy であるから
=2(x1+x2y2+xays) +3.
x+x2+x3
=2xy+3x
3
(S)
参
散布
ここ
よう
y
{
O
4
Sxz 2Sxy Sxy
rxz=
=rxy
=
SxSz Sx*2Sy SxSy
[参考]一般に2つの変量 x, y について, Sxy=xy-xy が成り立つ。
また変量z を z=ay+b とするとき, Sxz = αSxy が成り立つ。
2000
