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演習 例題12
|台同式を利用して,次のものを求めよ。
CHART 累乗の数を割った余りの問題余りの周期性に注目
累乗の数の余り
a
(イ) 20002000 を12 で割った余り 【) 早稲田大]
((2) 類自治医大]
p.492 基本事項3
=b(mod m), c=d(mod m) のとき
3 ac=bd(mod m)
垂の数に関する余りの問題では,余りの周期性に着目することがポイントである。
今同式を利用して, 指数の底を小さくしてから,周期性を調べると計算がらくに
注意 a"のaを指数の底という。 でお束
4 自然数 nに対し α"=b"(mod m)
法製。
AAHO
10)ある自然数ANの一の位の数は, Nを10 で割ったときの余りに等しい。したがって,
なる。
a"=1(mod m) となるようなnが見つかれば, 問題の見通しがかなり良くなる。
10を法とする剰余系を利用する。
解答
)(7) 13=4(mod9) であり
4°=16=7(mod 9),
13-4=9であるから, 13
と4は9を法として合同で
あることに着目し,4" に関
する余りを調べる。
133, 13° を9で割った余り
を調べてもよいが, 一般に
4°, 4° の方がらく。
|2000"の計算は面倒。
2000 を 12 で割った余りは
8であるから, 2000 と8は
12を法として合同。
4°=64=1(mod 9)
400=4-(4°) =4 (mod9)='S
33
ゆえに
よって
13:00=400=4(mod 9)
したがって,求める余りは 4 e
0=
0=2
2000=8(mod 12)であり
8°=8-4=8 (mod 12),
ゆえに, kを自然数とすると
8°=64=4(mod 12),
8*=(8)°=4°=4(mod 12)
82k=4(mod 12)
よって
20002000=82000=4(mod 12)
したがって, 8" に関する余
したがって,求める余りは 4
(2) 47=7(mod 10)であり
7=9-7=3(mod 10),
りを調べる。
7°=49=9(mod 10),
7=9°=1(mod 10)
720113 (74) 502.78 =1502.3=1·3=3(mod 10)
(47=10·4+7
(2011=4·502+3
ゆえに
よって
472011=72011=3 (mod 10)
したがって,472011 の一の位の数は
3
