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D.94 基本事項2, 基本62
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100
基本例題 63 解から係数決定(虚数解)
(山梨学院大
の定数 a, bの値と他の解を求めよ。
HART O
OLUTION
=e が f(x)=0 の解 → f(α)=0
代入する解は1個 (x=2+i)で, 求める値は2個(aと6)であるが,
複素数の相等 A, Bが実数のとき A+Bi=0 ← A=0 かつ B=ニ
により,a, bに関する方程式は2つできるから, a, bの値を求めることができる
また,実数を係数とする n次方程式が虚数解 α をもつとき, 共役な複素数。
解であることを用いて, 次のように解いてもよい。
別解1,2 αと が解であるから, 方程式の左辺は(x-α)(x-α) すなわち
るこの方oe
x-(α+@)x+aa で割り切れることを利用する。
3つ目の解をえとして, 3次方程式の解と係数の関係を利用する。
別解3
解答
して
inf. x-2=i と変形して
両辺を2乗すると
x-4x+5=0
これを利用して
x=2+i がこの方程式の解であるから
(2+)+a(2+i)?+6(2+i)+10=0 18
ここで,(2+)°=2°+3·2°i+3·2i+パ=2+11i,
81=6
すると
(2+)=2°+2·2i+パ=3+4i であるからSーナx+ax?+ bx+10の次数を
2+11i+a(3+4i)+6(2+i)+10=0信ケ (8-x)(
下げる方法(別解1の3行
+x ) 1 目以降と同じ)もある。
3 8.(b.89 基本例題 56 参囲)
3a+26+12, 4a+b+11 は実数であるから とすると、 他ー この断り書きは重要。
3a+26+12=0, 4a+b+11=0oy 0ま A, Bが実数のとき
iについて整理すると
はして=ー。
3a+26+12+(4a+b+11)i==0
する方
この
はなと、
は)
これを解いて
ゆえに,方程式は
f(x)=x°-2x°-3x+10 とすると
a=-2, b=-3 11)-
x°-2x°-3x+10=0
A+Bi=0
→ A=0 かつ B=0
F-2)=(-2)°-2·(-2)-3-(-2)+10=0 - -6-k1S
よって,f(x) は x+2 を因数にもつから
f(x)=(x+2)(x°ー4x+5)
+ 組立除法
81%3D6
したがって, 方程式は
1 -2 -3 10 2
(x+2)(x°-4x+5)=0
x+2=0 または x-4x+5=0
-2
8 -10
ゆえに
0
1 -4 5
x2-4x+5=0 を解くと
よって, 他の解は
別解1 実数を係数とする3次方程式が虚数解 2+i をもつか
ら,共役な複素数 2-i もこの方程式の解である。
よって, x+ax°+ bx+10 は {x-(2+i)}{x-(2-i)}
すなわち x-4x+5 で割り切れる。
x=2±i
x=-2, 2-i
の部分の断り書きは
重要。
の
