-
![]()
88
本例題 53 剰余の定理利用による余りの問題 (1)
(近畿大)
とき, P(x) をx-3x+2 で割った余りを求めよ。
[類慶応大)
とき, P(x) をx+3x+2で割った余りを求めよ。
基本 52)(重要55
P(x) が具体的に与えられていないから, 実際に割り算して余りを求めるわけにはいか。
い。 このような場合, 割り算の等式 A=BQ+R を利用する。
特に, 余り Rの次数が割る式Bの次数より低い ことが重要なポイント !
2次式で割ったときの余りは1次式または定数であるから, R=ax+b とおける。
条件から, この a, bの値を決定しようと考える。それには, 割り算の等式 A=BQ+R
で, B=0 となる rの値 (これを● とする)を考えて, P(●)の値を利用する。
基本等式 A=DBQ+R
[] R の次数に注意 2] B=0を考える
CHART 割り算の問題
解答
(1) P(x) をx?_3x+2 すなわち(x-1)(x-2)で割ったとき
の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。
42次式で割った余りは,
1次式または定数。
7
条件から
9+XD+(x)○(7-) (1)3 (x)d
剰余の定理。また, ⑦の
AB=(x-1)(xー2)
P(1)=5
ゆえに
① 9=9+D
両辺にx=1 を代入する
P(2)=7
ゆえに
L=9+D
①, ② を連立して解くと
よって, 求める余りは
(2) P(x) をx?2土3x+2 すなわち(x+1)(x+2)で割ったとき
の商をQ(x), 余りを ax+bとすると, 次の等式が成り立つ。
a=2, b=3
マ
9+D=(1)d
2.x+3
▲2次式で割った余りは
1次式または定数。
AB=(x+1)(x+2)
Aa, bの値を決定するため
には, P(-1), P(-2)が必
要。そこで, ①, ② にそれ
ぞれx=-1, x=-2を代
入する。
17
また, P(x) を x?-1, x?-4すなわち(x+1)(x--1),
(x+2)(x-2) で割ったときの商をそれぞれQ(x), Q:(x) と
P(x)=(x+1)(x-1)Q(x)+4x-3 … ①
P(x)=(x+2)(x-2)Q2(x)+3x+5
すると
これと⑦から -a+b=-7
①から
②から
P(-2)=-1
③, ④ を連立して解くと
これと③から -2a+b=-1
4
a=-6, b=-13
求める余りは
ー6x-13
(1) 整式 P(x) をx+2 で割った余りが3, x-3で割った余りが1のとき
53
をxーxー6で割った余りを求めよ。
(し)
東敗 D
