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演習 例題 79 平面の方程式の利用
座標空間に4点A(2, 1,0), B(1, 0, 1),C(0, 1,2), D (1,37) がある。
3点A,B,Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき, 点Eの座標
[京都大] 演習78)
を求めよ。
指針> ここでは, 平面の方程式を利用して解いてみよう。
まず、前ページと同様に, 平面ABC の方程式を求める。
次に 2点D,Eが平面ABC に関して対称となるための条件
[1] DE⊥ (平面ABC)
[2] 線分 DE の中点が平面ABC 上にある
を利用して点Eの座標を求める。
解答
平面 ABC の法線ベクトルを n = (a,b,c) とする。
AB=(-1, -1, 1), AC = (-2, 0, 2) であるから,
n・AB=0, n.AC=0 より -a-b+c=0, -2a+2c=0
よって
b=0,c=a
ゆえに
n=α(1.0.1)
0.0
a=0 からn=(1, 0, 1) とすると, 平面ABC の方程式は
1×(x-2)+0×(y-1)+1×(z-0)=0
すなわち x+z-2=0
E(s, t, u) とする。
DÉ」 (平面ABC) であるから DÉ//n
ゆえに, DE=kn (k は実数) とおける。
(s-1, t-3, u-7)=k(1, 0, 1)
よって
ゆえに
s=k+1,t=3,u=k+7
線分 DE の中点 ( 8 +1, t+3 u+7
から,①に代入して
s+1
+
2
s+u+4=0
......
u+7
2
-2=0
}--
よって
② ③ から
k=-6,s=-5, t=3, u=1
したがって E(-5, 3, 1)
......
が平面ABC 上にある
D.
E
n (平面ABC)
DE-OE-OD
L
「平面ABC の方程式を
ax+by+cz+d=0 として
求めると,
2a+b+d=0,
a+c+d=0,
6+2c+d=0 から
b=0, c=a, d=-2a
ゆえに x+z-2=0
n
平面ABC
▼中点の座標を平面ABCの
方程式 ①に代入。
②③ に代入して
(k+1)+(k+7)+4=0
