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基 本 例題 110 図形と漸化式 (2)
右の図において, ∠XOY = 30°, OA1=2,
OB,=√3 とする。 ∠XOY の2辺OX, OY
上にそれぞれ点A, A,
A, .......
B1,B2,B3,
を, 「A1B1, A2B2,
はすべて OY に垂直であり
CHA
HART
PRACTICE
解答
△An+1BmBn+1, BnAnAn+1 はともに、3つの内角が30°60°
90° であるから
an+1
An+1Bn+1=
2
A+Be+=(√) A.B. = A.Br
An+1Bn+1²
2
よって
△An+1B+1 An+2%ABnAn+1 であるから
1 = ( ³ ) ²a
・･･および点
As B3,
B1A2, B2A3, B3A4,
△ABAn+1 の面積を α とするとき, 数列{an}の初項から第n項までの
和を求めよ。
3
√3
2
8
1-
OLUTION
前ページの例題と同様に, an と αn+1 の関係について考える。
△An+1B1+1An+200△A,B,An+1, 「相似な図形の面積比は,相似比の2乗に等し
い」 を利用する。
nou
16
9
16
=L
-An+1Bn, An+1Bn=
an=
9
16 an
......
･･はすべて OX に垂直」 であるようにとる。
£t, a₁==·A₁A₂·A₂B₁=1+1,√3-√321), (₂)
また, α
より,数列{an}
22
8
√√3
は初項 公比 10 の等比数列であるから,求める和は
9
8
030°
MOITU
80
√3
2
_2√/3³ (1-(2/6)
7
-AnBn
B3
B2
B,
A4 A3 A2
Y
0.
A₁
・X
30°
基本103,109
B + 1
B₁
M
An+2 An+1 An
3
An+1Bn+1=2A,B から,
基本例題
1,2,3, 4.
してもとに
出される回
相似比は4:1
ゆえに、面積比は
(4):18
CHART C
確率
n回
n回の
であ
(n+
[1]
[2]
解答
(n+1) 回の
[1] n
回目
[2]
n
回目
のいずれ
変形する
また
よって
るから
した
