188
重要 例題 113 素数の性質の利用
(1) n²-12n+27 の値が素数となるような自然数n をすべて求めよ。
(2) a,bを, a < b を満たす自然数とするとき、a+b=p,ab = g を満たす
ⓒp. 174 基本事項 3
素数p, g を求めよ。
CHART & SOLUTION
積が素数となる条件
① 素数』の正の約数は1とかのみ
(1)a,bを整数, pを素数とするとき
0<a<bab=pならば α=1,b=p(小さい方が1)
a<b<0, ab=pならばa=-p, b=-1 (大きい方が-1)
n-12n+27=(n-3)(n-9) が素数のときは,n-3とn-9がともに正の場合と,とも
に負の場合がある。
解答
(1) N=n²-12 n +27 とすると
(2) 積が素数(ab=g) の条件とa<bから,aとbが決まる。 また, 偶数の素数は2だけ
であることを利用する。 , g の偶奇に注目。
N=(n-3)(n-9)
[1] n-3>n-9> 0 すなわち n >9のとき
Nが素数となるとき n-9=1
よって
n=10
このとき, n-3=7から N=7 となり,適する。
[2] n-9<n-3 <0 すなわち 1≦n <3 のとき
Nが素数となるとき
n-3=-1
よって
n=2
このとき, n-9= -7 から N=7 となり、適する。
[1], [2] から 求める n の値は
n=2, 10
(2) ab=g と α<bから
a=1,b=g
a+b=p に代入して
p=g+1
A
でありとの偶奇は異なるから
p=2+1=3
よって
p=3 は素数であるから,条件を満たす。
したがって、求める素数 p q は
00000
PRACTICE 1120
② 偶数の素数は2だけ
g=2
p=3, q=2
まず N を因数分解。
n-3, n-9がともに
正の数なら小さい方が1,
ともに負の数なら大き
い方が-1
7 は素数
nは自然数だから n ≧1
1≦n<3を満たす。
■ 7 は素数。
◆素数αの正の約数は 1
とgのみ
p-g=1 (奇数) である
から,pgの一方は奇
数で,もう一方は偶数。
