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第8章 整数の性質
考え方
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例題266 整数の応用問題(2)
(1) 4桁の整数で,その下2桁の数と上2桁の数との和の平方と等
(群馬)
(2) 次の2010 個の整数の中に全部で何種類の整数ができるか。 ただ
くなるものを求めよ。作
(1
2010 x 2010
2010 ]
68
解
し[]はガウス記号とする
「1×1
[¹8¹], [²8²], [³X³].
68
68
aについて
268'
(1) 今までと同じように4桁の数を1000α+1006+10c+dとおいて考えることも
できるが, 文字の数が多くなってしまう. 「下2桁」と「上2桁｣の数の和とな
っているので,ここでは,上2桁と下2桁をみる
x²
(2) まずは y=- 上の格子点について考える.
68
-d-p+d+b
その後で について考えるが,そのとき,xが1変化するときのyの変化
量に注目する.
(1) 上2桁をα, 下2桁をもとおくと,条件から,
100a+b=(a+b)²
a²+2(b-50)a+b²-b=0
=-(6-50)±√(6-502-62-6)
解の公式
CIRCO 7-1
=50-6±√502-99 ...... ①
αは整数より, 502-996=n² (nは0以上の整数)
(50+n) (50-㎖)=996 ......
②
右辺≧0より, 500 すなわち,
n≤50
かず
右辺は 11 (素数) の倍数より, 50+nまたは50- nは11の倍数である。
0≦x≦50 の整数で,
(ア) 50+nが、11の倍数になるのは,
n=5,16,27,38,49
このとき, 50+n, 50-) (55,45) (663472388,12
える不動害者
(99, 1)
このうち右辺が9の倍数より,
のは, n=5 または49
(イ) 50-n が11の倍数になるのは,
n=6,17,28,39,50
OTOWANI
(50+n) (50-n) が9の倍数になる
Co, (50+n, 50-n)=(56, 44), (67, 33), (78, 22), (89, 11
(100,0)
(50+n) (50-n) が9の倍数になるのは,
n=50
Flocus
n=5,49,50
同市線の
b=25
よって, (ア),(イ)より,
これを②に代入して
(i) n=5 のとき, 55･45996 より
①へ代入して, a=25±√25=30, 20
このとき,4桁の数は, 3025, 2025
in=49 のとき, 99･1996 より,
b=1
練習
266
①へ代入して, a=49±√49298,0
このとき,4桁の数は 9801 (a=0は不適)
() n=50 のとき, 996=0 より,60
①へ代入して, a=50±√50²=100,0(ともに不適)
以上より, 求める4桁の数は,2025,3025,9801
変化 4y は,
1
(ア) 4y <1 すなわち, (2k+1) <1のとき, 33.5
68
したがって, k33 のとき、
|=0.
AMBEST
(2)y=
- x2のグラフにおいて, x座標がkからk+1に変化するとき (kは
68
0 以上 2010 以下の整数),y座標の変化 ⊿y は,
4y= {(k+1)^-k2}= (k+1)
68
68
y= において、x座標がんからk+1に変化するときのy座標のちかい
342
68
=17 より,
34²
68
3 整数の性質の活用
までに
68 68
y = 0, 1, 2, ････17 18種類
2010-35+1=1976(種類)
以上, (ア), (イ)より,
(1) 4y≧1 すなわち, og(2k+1)のとき,k33.5
68
したがって, k≧34 のとき, 4y'≧1
35 2010 において, [CG] の値はすべて異なるから,
18+1976=1994 (種類)
Ay Ay 12
xy のとき, x-y<1→[x]-[y]=0, 1
x-y≧1→[x][y]≧1
471
ガウスを使っているか
または1
y'=0
・33.5より小さい初めの整数(ガウスを使うか?)
どうか
8
3 以上 9999 以下の奇数αのうち, a²-aが1000で割り切れるものをすべて
求めよ. さん
整数の性質
