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厚本例題125 連立漸化式 (1)
教列(an), {bn} をa=bi=1, an+1=Qn+4bn, bn+1=an+bnで定めるとき
575
O0
txbn+1=y(an+xb») を満たす x, yの組を2組求めよ。
数列 {an), {b»} の一般項を求めよ。
計>本間は,2つの数列{an}, {bn} についての漸化式が与えられている。 このようなタイプで
D an+1
にお
【類埼玉大)
フみ、
こ生
は,次の2つの解法がある。
「解法1] 等比数列 {a,+kb,} を利用する。
【解法2](an を消去 して, 数列{bn}の隣接3項間の漸化式に帰着させる。
(1)は,数列 {an +xb»} が等比数列となるための条件を求めさせている。よって, [解法1]
公あ
3章
16
の方針で解く。
CHART 連立漸新化式 an+1+.cbn+1=y(an+xb,)の形を導き出す
解答
a+a+xbn+1=Qn+4bn+x(an+bn)
=(1+x)an+(4+x)bm
よって, ag+1+xbn+1=y(an+xb») とすると
7(1+x)an+(4+x)bn=yan+xybn
これがすべてのnについて成り立つための条件は
1+x=y, 4+x=xy
x=4
参考 [解法2] [1つの数列
に関する漸化式に帰着させ
る]の方針による解答
an+1=an+4bn………… 0
bn+1=an+bn
2から an=bn+1-bm,
an+1=bm+2-bn+1
これらをOに代入して
ゆえに
よって
x=±2
bn+2-26n+1-3bm=0
ゆえに
これは隣接3項間の漸化式。
特性方程式x-2.x-3=0を
解くと x=-1, 3
よって、p.572 基本例題 123
(1)と同じ方針で、 まず一般項
2 (1)から
Yet+262ま=3(a+26»), a.+2b、=3;
-26n+ニー(a,-26,),、a.-2b、=-1
よって,数列 {an+26,} は初項 3, 公比3の等比数列;
数列 {an-26,}は初項 -1, 公比 -1の等比数列。
ゆえに
bnを求める。
の,
an+26,=3·37-1_3"
an-26,=ー(-1)"-1= (11)"
のt2-2から
40, 2を an, b。の連立方
程式とみて解く。
a,ミ
2
アリートから
bn=
4
このタイプの漸化式は,まず2つの新化式の和·差をとってみると,うまくいく場
もある(b.589 EXERCISES 87 (1) 参照)。
-6h bat=an+7bn で定めるとき
|種々の漸化式
