121 回転体の体積 (VI)
媒介変数を用いて, r=sin0, y=sin20
(0≤0≤2)
と表される曲
線Cについて 次の問いに答えよ
(1) Cの概形をかけ.
(2)Cy0 の部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積
Vを求めよ.
精講
(1)媒介変数を用いてx, y が表されていますが, 64
によれ
「y=(xの式)」の形にできるのであれば, 媒介変数のまま微分
する必要はありません。
(2)関数が媒介変数を用いて表されていても,軸まわりの回転体の体積の公
式は1つしかありません。
すなわち xfy'dx です。
解答
(1)y=2sincost において, sin0=x とおくと
cos0=√1-sin20=√1-2 (cos≧0より)
y=2x√1-x² (0≤x≤1)
0≦x<1のとき
y'=2√1−x²+2x•—(1−x²)¯½·(−2x)
82(1) 注 参照
=2√1-1-
x²
2(1-2x2)
√1-x2
y'=0 を解くと
x=
√2
(0≦x<1より)
y"=2・
1-x2
2x(2x2-3)
(1-x²)√1-x20
IC
