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基礎問
168 第6章 積分法
92 指数関数の積分
次の定積分の値を求めよ.
(1) fe²(e²+1)³dx
(3) fore-dr
指数関数のゴチャゴチャ型です.積分においてeのもつ最大の利
益は「(e*)'=e"」ですが,その理由は 89 注の文章にかいてありま
す。すなわち、
何かをひとまとめに考えたとき, その微分がかけてあれば、
必ず置換積分ができる
からです。ただし,この基礎問も単にこの知識だけでゴールに着けるわけでは
ありません。
(2)
解答
(①1) See +1)'d において, ef=t とおくと
x: 0→1のとき, t1→e
dt
*k, d=e² y_ dt=e²dx
dr
d.x
また、
[(1+1)dt=1/12 (t+1)=1/((e+1)-2"}
(e+1)³-8
3
==-p²-t
(別解) (+1)をひとまとめと考えると, その微分は...)
√ (@e² + 1)²(e ² + 1) dx = [ { (e ² + 1)³] ² = ²
(e+1) ³-8
3
(2)において, ltex=t とおくと
1→0 のとき, t:1+e→2
dt
dt
dr
無理に展開する必要はない
..
dt
1-t
また,
=dx
dt
tet (1-t)
=[log (t-1)-logt]" =[log¹=¹11**
1
2e
=log_ --log-
2
1+e
演習問題 92
e
1+e
dx
et
(²) ₁₁ ===S²₁0 ²+1
-dx
= L-₁ (@²+1) dx = [108(e²+1)]",
-dx=
-1
40-log2-log-
dx
2e
･1te
(3) Seredr において,r=t とおくと
x: 0→1のとき, t: 0→1
dt
ポイント
1+e
t(t-1) - S2 + ( + 1 -1 -1 ) d t
(89)
1+e
e
1+e
-=10g-
=10g
=2より 1/12/dt=zd
=xdx
(別解 (2) ひとまとめと考えると･・･)
=log2-log(e^'+1)
Ledt fedt = [-e-1-(¹-¹)
fredx==(-2²Yedz
Cl dr
分子分母に²をかける
= — ²/² √ ^ ( − x ²³)² e ²* dx = - 1²/ [(e-1
Jo
=1/(1-1/2)
(あるいはe-²) からできている式の積分は
e²=t (あるいはef=t とおくことを考える
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第6章
