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めよ。
本例題 215
代範囲
x
V
基本例題217 最大値・最小値から3次関数の決定 ①
0<a<3とする。 関数 f(x)=2x-3ax²+b (0≦x≦3) の最大値が10, 最小値が
18のとき,定数a, b の値を求めよ。
②① の増減表から最小値はわかるが, 最大値は候補が2つ出てくる。よって, その最大
2値の候補の大小を比較し,αの値で場合分けをして最大値をa、b で表す。
/(x)=6x²-6ax=6x(x-α)
(x)=0 とすると
x=0, a
0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x) の増減表は次の
うになる
x
f'(x)
f(x)
ゆえに
0
b
また、
(0) と(3) を比較すると
a
0
極小
b-a³
よって, 最小値はf (a) = b-α であり b-α = -18 ...... ①
最大値はf(0) = b またはf(3)=6-27a+54
0<a<2のとき
2≦a <3 のとき
[1] 0<a<2のとき,最大値は
+
ƒ(3)-f(0)=-27a+54=-27(a−2)
(0) (3)
(3)(0)
これを①に代入して整理すると
ゆえに
(a-1)(a²+a-26)=0
3
-1±√105
2
6-27a+54
f(3)=6-27a+54
-27a+54 10 すなわち 6=27a-44
a²-27a+26=0
a=1
b=-17
よって
a=1,
0<a<2 を満たすものは
このとき, ①から
[2] 2 <3のとき,最大値は f(0)=b
よって
b=10
これを①に代入して整理すると a³=28
28 33 であるから a=28>3となり、不適。
[1],[2] から
a=1, 6=-17
基本 211
38+
(最小値-18(土) (1)
① 最大 最小
極値と端の値をチェック
大小比較は差を作る
(最大値) 10
10-27 261
1 1 -26
0
335
1 1 -26
6章
37
3 最大値・最小値、方程式・不等式
場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
(最大値)=10
場合分けの条件を満たすか
どうかを確認。
練習 a,bは定数とし, 0 <a <1 とする。 関数f(x)=x+3ax²+b (-2≦x≦1) の最大
® 217 値が 1, 最小値が−5となるようなa,b の値を求めよ。
[類 大阪市大〕
(p.344 EX140
