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1の3乗根の虚数のうちの
「解答
これから使う性質に
ついてまず証明して
おく.
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■よ.ただし,n は整数と
1
1)2-1 (岡山県立大改)
コ) = 0 より wはx=1 の解
例題 56
x'+x+1による割り算の
(1) a, b が実数, zが虚数のとき
を証明せよ.
a+bz=0 a=0 かつ b=0
3 高次方程式 119
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(2)x+2x+3x²+5x-1をx²+x+1で割ったときの余りを求めよ.
考え方 (1) a+bz=0 a=0 かつ b=0 の証明は背理法を利用する。
(2)方程式+x+1=0の解をするとは虚数でww+1=0.ω=1 で
ある あわせて (1) の証明結果を利用して余りを求める。
(1)(i) a+bz=0a=0かつb=0を証明する
b=0 と仮定すると, a+bz=0 より z=-
a ……………① となる.
b
だから
ここで,a,bは実数より
も実数
とは
よって,
a=0
| 2004 3×668
ω=1 が利用でき
るように変形する
通分する
a+bz=0
q=0 かつ b=0
以上より,
a=0 かつ b=0
このようなときは
なっ
実数
(9)9
与式に代入できるよ
うな2種類の変形を
行う.
しかし、2は虚数であるから、①の成立には矛盾がある。
b=0
b=0 を a+bz=0 に代入すると
したがって, a, b が実数, z が虚数のとき.
よくいくとは限らな
a+bz=0は明らかに成り立つ
が虚数のとき
a+bz=0a=0 / b=0=
(2)x+2x3+3x²+5x-1 を2次式x'+x+1で割ったときの商をQ(x),余り
1次以下の多項式mx+n(m,nは実数) とすると,(土)1
x+2x'+3x²+5x-1 = (x2+x+1)Q(x)+mx+n
.....①
方程式 x'+x+1=0の解をωとすると, ω は虚数で。。
ω'+w+1=0である。 ①の両辺にx=w を代入すると,
+2ω°+3ω°+5ω-1=(ω^+w+1)Q(ω)+mw+n
ここでω-1=(ω-1) (ω'+ω+1)=0 より
また,
=1
e=e=e④しいにきたから、今はどの
ω'+w+1=0 より ω=-ω-1 ...... ⑤
ずは (w+1)24-1
考える.
-1は奇数より
2-1-1
を使えるよう
よって、②は,③~⑤より,
- を分ける.
で整理すると,
(n+2)+(m-3)w=0
17+18
とする.
練習
2
3
第2章
w+2×1+3(-w-1)+5w-1=mw+n
ここで,m,nは実数であるから, n+2m-3も実数, また, は虚数
したがって,(1)の結果から, n+2=0,m-3=0
つまり、
m=3.n=-2
報によって、 求める余りは, 3x-2
(1)x100-1 を x'+x+1で割ったときの余りを求めよ.
56 (2)x+ax+bx+cx-1で割り切れるとき,実数a,b,c の値を求めよ.
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