基本 例題 167
軸の周りの回転体の体積(2) ①①①①①
265
放物線 y=x-2x と直線 y=-x+2 で囲まれた部分をx軸の周りに1回
転してできる立体の体積Vを求めよ。
CHART
& SOLUTION
回転体の体積
回転体では図形を回転軸の一方に集結
をかくと〔図1]のようになる。 ここで, 放物線
まず, 放物線 y=x²-2x と直線 y=-x+2
と直線で囲まれた部分はx軸をまたいでおり,
これをx軸の周りに1回転してできる立体は,
図2]の赤色または青色の部分をx軸の周り
に1回転してできる立体と同じものになる。
基本例題166 と異なり, この場合はx軸の下側
(または上側) の部分をx軸に関して対称に折
3
12
③ 基本 166
2
ON
x
-1 O
x
-x²+2x
[図2]
り返した図形を合わせて考える必要があることに注意!
解答
ようにとれる手
2x=-x+2 とすると, x-x-2=0 から
(図1)
x=-1,2
放物線y=x²-2xのx軸より下側の部分を,x軸に関して対
称に折り返すと右の図のようになり、題意の回転体の体積は,
図の赤い部分をx軸の周りに1回転すると得られる。このと
き 折り返してできる放物線y=-x2+2x と直線 y=-x+2
の交点のx座標は,-x2+2x=-x+2 を解いて
x=1,2
3
6章
19
体積
よって
V=πS˚, {(−x+2)²=(x²-2x)²} dx+π(−x+2)²dx
+(-x+2x)³dx
=(-x+4x³-3x²-4x+4) dx+x(x-2)'dx
-+ f(x)は上の公式を利用してま
=x[+x-x-2x+4x]
5
+π
5+
-x²+-
8
+π
-19x+x+7=100-207
3
RACTICE 167 8
1515
3
次の3つの図形に分け
て体積を計算する。
+
不等式 -sinx≦y≦cos2x, 0≦x≦で定められる領域をx軸の周りに1回転して
0
できる立体の体積Vを求めよ。
Spoly(12)
[類 神戸大 ]
