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2.2.27
演習 例 231 4次関数のグラフと2点で接する直線
00000
関数y=x(x-4)のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
[類 埼玉大 ]
+16>12x
基本 20
指針 次の1~3 の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4),s≠t]。 3 の考え方で解いてみ
よう。
h
1 点(t,f(t))における接線が,y=f(x)のグラフと点(s, f(s)) で接する。
2点(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
③ y=f(x) のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=tの点で接するとして
f(x) =mx+nが重解s, tをもつ。→f(x) (mx+n)=(x-s)(x-t)
28(2-4)=(math)より
y=x(x-4) のグラフと直線 y=mx+nがx=s, x=t
解答(s≠t) の点で接するとすると、次のxの恒等式が成り立つ。
x(x-4)(mx+n)=(x-3)(x-1)^
(左辺) =x-4x-mx-n
(右辺)={(x-s)(x-t)}={x2-(s+t)x+st}2
YA
にらを入れると口になる
x
S
=x^+(s+t)2x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2
=x-2(s+t)x3+{(s+t)'+2st}x2-2(s+t)stx+s2t2
両辺の係数を比較して
(x+x)x-=1-
-4=-2(s+t)
-m=-2(s+t)st
①から
①, 0= (s+t)'+2st ...... ②,
....2,
下の別解 は,指針の①
3, -n=s²t²......④D
s+t=2
③から
m=-8
これと②から (I-st=-2
④から
の考え方によるもので
ある。
n=-4
s,tはu2-2u-2=0の解で,これを解くと u=1±√3ss≠t を確認する。
よって, y=x(x-4) のグラフとx=1-√3, x=1+√3 の
点で接する直線があり、 その方程式は y=-8x-4
