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(ア)(イ)より, 方程式 ① の異なる実数解の個数は
3
<a<0, 0<a< k1のとき2個
3
a = 0, ± のとき
2
1個
3
a<
<a のとき
0個
2'2
解の公式を用いると
1+i±√(1+i-1(4+2i)
x=
1
=1+i±√1+2i+i-4-2i
=1+i±√-4=1+i±2i
よって, この方程式の解は x=1+3i, 1-i
2次方程式の解の公式は
虚数係数の2次方程式に
おいても成り立つ。
29
2つの方程式 -3x+α = 0,
x-ax + α-3a = 0 の一方だけが虚数解をもつような定数α
この値の範囲を求めよ。 ただし, は実数の定数とする。
31
2次方程式 x+ax+b = 0 が0でない解α,Bをもち,+p=3, 1/12 1/12
+
とき, 実数α, bの値を求めよ。
=1が成り立つ
(武蔵工業大)
(ア) α = 0 のとき
2つの方程式はそれぞれ3x= 0, x2 = 0 であるから
ともに実数解をもち, 条件に反する。
の係数が0のときは2
次方程式にならないから
場合分けして考える。
解と係数の関係により a+b=-a, aβ = b ... 1
ここで,' + B2=3より (a+B)^2uß=3
① を代入すると a²-26
3 ... 2
■基本対称式
α+β, aβ で表す。
D₁ =9-4a² -
(イ) α 0 のとき
ax²-3x+α=0 ① の判別式を D, とおくと
− 4 (a² − −2 ) = − 4 (a + 32 ) ( a − ¾³)
x-ax+a-3a = 0... ② の判別式を D2 とおくと
D₂ a²-4(a2-3a)
=-3a²+12a = -3a(a-4)
①が虚数解をもつとき
1
1
a+B
また, -+
=1 より
=1
分母をはらう。
a B
aβ
よって
a+β= aβ
① を代入すると -a=b
... 3
② ③より a²+2a-3=0
(a+3) (a-1)=0 より a=-3,1
αを消去してもよい。
③ より, a = -3のとき
α=1のとき
b=3
b=-1
D1 < 0 より
a<-
3 3
22
<a
...①、
αの係数が負であるから,
したがって, 求めるα, bの値は
②が虚数解をもつとき
D<0 より a < 0, 4 <a ....②、
注意して2次不等式を解
く。
a=-3,b=3 または 1,b=-1
32
①', ②' の一方だけが成り立つような
αの値の範囲は
②
1
2'
2次方程式 6x+α=0において、 次の条件を満たすようにそれぞれ定数αの値を定めよ。
(1)1つの解が他の解の2乗
(2)2つの実数解の絶対値の和が8
Di < 0 かつ D2≧0
sa<0,
3
°
4 a
<a≤4
D≧0 かつ D <0
の範囲。
(1) 1つの解が他の解の2乗であるから,この2次方程式の2つの解を
α, ^ とすると, 解と係数の関係により
2つの解を1つの文字 α
α+α²=6... ① a.a=a... ②
を用いて表す。
30 定数がどのような実数値をとっても, xの2次方程式 x2(1+i)x+4+2ki=0は実数解を
もたないことを証明せよ。
また, k=1のとき,この方程式の解を求めよ。
①より α+α-6=0
(+3)(α-2)=0 より a=-3, 2
このとき, ②より a=-27, 8
(2) 与えられた方程式の判別式をDとすると, 実数解をもつから
この方程式が実数解αをもつとすると
a²-2(1+i)a+4+2ki = 0
よって (2-2a+4)+2(-α+k)i=0
k, α は実数より, -2a+4, -α+kも実数であるから
2a+4=0･･･ ① かつ -α+k=0... ②
ここで,αの2次方程式 ①の判別式をDとすると
=(-1)°-1・4=-3< 0
よって, ① は実数解をもたない。
すなわち, kの値にかかわらず与えられた方程式は実数解をもたない。
次に, k=1のとき与えられた方程式は
x²-2(1+i)x +4+2i = 0
(①の左辺)
=(-1)+3> 0
としてもよい。
D
=9-40 すなわち ≦
4
2つの解をα とすると, 絶対値の和が8であることから
|a|+||=8 ... 1
解と係数の関係により
α+β=6... ②,
a = a ... ③
①の両辺を2乗すると
a +2\uß\ +B° = 64
(a+B)22aß+2|aβ| = 64
② ③ を代入すると -α+|a|=14
(ア) 0≦a≦9 のとき 014 となり、不適。
(イ) α <0 のとき -2414 より
これは α <0 を満たすから適する。
したがって a=-7
a=-7
絶対値記号をはずすため
に場合分けをする。
