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基本 例題 75 第n次導関数を求める (1)
×
nを自然数とする。
0000
(1)y=sin2x のとき,y(m)=2"sin(2x+
nл
2
であることを証明せよ。
(2) y=x”の第n 次導関数を求めよ。
指針(7) は, yの第n次導関数のことである。 そして、 自然数nについての
注意 数学的帰納法による証明の要領 ( 数学 B )
から、
(2)では, n=1,2,3の場合を調べてy(n) を推測し,
自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める。
数学的帰納法で証明する。
/p.129 基本事項 重要 76, p.135 参考料
重要 例題
76 第
関数f(x)=
1
√1-x
についての問題であ
(1-x2) f(n+1
が成り立つことを言
自然数nに
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
指針
解答
[2]n=kのとき成り立つと仮定し、n=k+1のときも成り立つことを示す。
(1)y(n=2"sin(2x+
nл
① とする。
2
ることはで
[1] n=1のとき y=2cos2x=2sin (2x+2) であるから,①は成り立つ
(2001-11
[2]n=kのとき,①が成り立つと仮定するとy(R)=2ksin (2x+
n=k+1のときを考えると,② の両辺をxで微分して
kл
2
n=k+1の
これをn=
n=kのと
CHART
証明したい
f(
f"
d
-y(k)=2k+1
COS
(2x+
kл
dx
2
ゆえに yas 2* sin(2x++)=2+1sin(2x+(k+1)x
y(k+1)2+1
よって, n=k+1のときも ① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
(2) n=1,2,3のとき,順に
y=x'=1, y"=(x2)"=(2x)'=2.1,y=(x)"=3(x2)"=3・2・1
したがって,y(n)=n! ① と推測できる。
[1] n=1のとき y'=1! であるから, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
[1]
よ
[2]
72
(1
ykk! すなわち
dk
dxkxk=k!
nk+1のときを考えると, y=xk+1で, (x+1)=(k+1)x であるから
d
dk
(k+1). =
dk
dxkdx
=(k+1)-
'dxkx=(k+1)k!=(k+1)!
{(k+1)x}
dxk
よって, n=k+1のときも ①は成り立つ。
73 [1] [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立ち
y()=n!
③ 75 (1) y=logx
練習 n を自然数とする。 次の関数の第n 次導関数を求めよ。
(2) y=cosx
n
[1
