基本(例題 32 (相加平均(相乗平均) の利用
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00000
a b は正の数とする。 次の不等式が成り立つことを証明せよ。また,等号が成
り立つのはどのようなときか。
(1) a+ ≥4
4
a
指針
(2) (a+1)(6+1)≥
4
b+
1
p.51 基本事項 5 重要 33
大小比較は差を作るの方針で証明してもよいが、次の相加平均と相乗平均の大小
関係 を利用することもできる。
a+b≧2√ab の形がよく使われる。
a+b
a>0,6>0のとき
√√ab 等号は a=b のとき成り立つ
2
(2)左辺を展開すると,(1) と似た部分が現れ、同様に処理できる。なお,1+1/2 225/7/
b+
6+/1/2
4b
として, 辺々掛け合わせると, うまくいかない (p.60 参照)。
C
a
立
解答
(1)a>0, 1>0であるから,(相加平均)≧(相乗平均) に
4
よりat/2.1/22定数などの特徴をもつとき、
文字が正和に対し
和に対し、積が
a
a
≧ (相乗平均)
4
よって
a+
≧4
ときである。
がよく使われる。
a
113
等号が成り立つのはa=
04
すなわち α=2のとき。
|a=から d=4
a
不等式の証明
