基本 例題 15 複素数のn乗の計算 (1)
①
1+i
複素数 z=
√3+i
について, 2” が正の実数となるような最小の正の整数
n を求めよ。
[類 日本女子大]
基本 10,14
SOLUTION
複素数の累乗 ド・モアブルの定理
分母を実数化するとうまくいかない。 分母・分子をそれぞれ極形式で表してから,
1+i
を極形式で表す (p.23 基本例題10 (1) 参照)。
√3+i
z"=r" (cosno+isinne) が正の実数 cosn00 かつ sinn0=0
解答
1+ i, √3+ i をそれぞれ極形式で表すと
1+i
1+ i=√2 (cos+isin).
√3+ i=2(cos+isin 7)
/2
π
TU
COS
+isin (7-6)}
2
4 6
4
√2 (cos 1/2+
π
COS +isin
12
ゆえに
10
z" = (27)(cos 1+isin
COS
12
=(√2 )" (cos 127+isin 127)
n
①2" が正の実数となるとき
COS
12>0, sin 127=0
n
ゆえに
=2m²(mは整数)
12
よって
n=24m
したがって、nが最小の正の整数となるのはm=1のときで
あるから
n=24
CHART
よって
²
0
↓
√3+i
√3
0
TC π
π
4 6 12
ド・モアブルの定理
sin0=0の解は
0=k(kは整数)
[1]0=2m
(mは整数)のとき
COS0=1>0
[2] 0=(2m+1)π
(mは整数) のとき
cos0=-1<0
x
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1章
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複素数の極形式 ド・モアブルの定理