等式 cos 30=4cos'0-3cos0 を示せ、
@ 2cos 80°は3次方程式x-3x+1=0 の解であることを示せ、
-3x+1=(x-2cos80°)(x-2cosa) (x-2 cos β) となる角度 , βを求めよ。
第7章 三角関数
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ただし, 0°<α<B<180° とする。
(思考のひもとき)
1. S(x)=0 の解がx=αであるときf(a)=0|である。
(筑波大)
2 3次方程式ax + bx°+ cx+d=0が, 異なる3つの実数解 x=p, q, rをもつとき、
ax°+bx°+cx+d=|a(x-p)(x-q)(x-r)と因数分解される。
解答
cos 30= cos (20+0)= cos 20 cos 0- sin 20 sin0
=(2 cos°0-1) cos0-2 sin0 cosθ·sin0
=2cos°0-cos0-2(1-cos'e)cos0
=4cos°0-3cos0
(2) f(x)=x°-3x+1とすると
fluai) 20を
f(2cos 80°)=(2 cos80°)*-3(2 cos 80°)+1
COS
COS
=8 cos°80°-6cos 80°+1 \
=2(4 cos 80°-3cos 80°)+1
sin30: 35m5
=2 cos3-80°+1 ( (1)より)
Q aos30 - 4 ca?
=2 cos 240°+1
=2·
+1=-1+1=0
よって,2cos 80°はx-3x+1=0の解となる. 口
(3) ポー3x+1=(x-2cos 80°)(x-2 cosa)(x-2cosβ) より
x=2cos80°, 2cosa, 2 cosβ
はx-3x+1=0 の3つの実数解となる。
よって,2cos a, 2cosβをまとめて2cos0とすると(0=a, B)
f(2 cos0)=2 cos 30+1 (:" (2)と同様)
2cos0がf(x)=0の解だから
2cos 30+1=0
