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[I] AB=16,BC=CA=10の△ABC がある。 辺AB上に点D, 辺BC上に点Eを,
A、D、E、Cが同一円周上にあるようにとる。
このとき, BD: BE= ア
イ
である。 (最も簡単な整数比で答えよ。)
また, DE=5であるとき
AABC
BD= ウ
CE=| I
オ
'
△BDE
四角形 ADEC = カキ
である。
[Ⅱ]
円に内接する四角形ABCD があり, AB=CD=2,BC=3,AD=1である。 辺
AB の延長と辺 CDの延長との交点をPとする。
このとき. PA=ク PD=|ケ
となる。
また, 点Pからこの円に引いた接線の長さは コ である
【 計算式や必要な説明 】
[I] △ABCと△EBD において, 四角形 ADECは円に内接するから
LBAC= ∠BED
であるから
よって
であり
∠ABC = ∠EBD
△ABC ∞ △EBD
10
BD:BE=BC:BA
=10:16
=5:8
.....
である。
また, BC=CA
より
BD=5･･････(ウ)
...(ア)(イ) ...①
(ア)(イ)・・・①
BD=DE であり、 いま, DE=5より
①より, BE8 であるから CE2(エ)
△ABCとEBDの相似比は
CA:DE=10:5=2:1 であるから
[Ⅱ]
AABC
ABDE
= () =
=4
......
･･ (オ)
△ABC=123×16
x16×6=48 であるから △BDE=48×
3×12=12
よって 四角形 ADEC=48-12=36 カキ
PA=x, PD=yとおく。
四角形ABCD は円に内接するので,
LPAD= ∠PCB
また, ∠Pは共通により △PAD △PCB であり,
相似比は AD:CB=1:3 であるから
PA:PC=1:3 つまり
x(y+2)=1:3
これより y=3x-2
①
また, 方べきの定理より
PA・PB=PD・PC
x(x+2)=y(y+2)
①を②へ代入して整理すると
x8x-8)=0
x>0であるから
x=1,y=1
よって PA=1, PD=1(ク(ケ)
点Pからこの円に引いた接線と円との接点の一つを Q とすると
方べきの定理により PQ2=PA・PBから
PQ2=1.3=3
PQ0 より PQ=√3
・・(コ)
B
-16
30
16
B
-16
C
