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基本例題 53 ベクトルの大きさに関する等式の証明など
(1) 四面体OABCにおいて, ベクトル OAとBCが垂直ならば
|AB|+|OC| = |AC|³+|OB|²
〔類 新潟大]
であることを証明せよ。
(2) a=(3, −4, 12), 6=(−3, 0, 4), ċ=ã+tb kU¹7, cza, cz
す角が等しくなるような実数tの値を求めよ。
p.460 基本事項 ②, 3
指針 (1) OA+BC から OA･BC=0 これを用いて,(左辺) (右辺) = 0 を示す。
(2) とことのなす角をそれぞれα, β とすると
ča
č. 6
cos β=
Tellal'
||||
させる。なお,式の変形では成分で表さずにベクトルのまま計算するとよい。
cosa=
【CHART なす角 垂直 内積を利用
解答
(1) OABC であるから OA･BC=0
このとき
(AB+|OC)-(|AC|+|OB|³)
=|OB-OA|+|OCP-|OC-OA|-|OB|
=|OB|-2OA・OB+|OA|+|OC|
-|OČ|+2OA・OČ-|OA|-|OB|
=20A OC-20A·OB=20A·(OC–OB) SV
=2OA・BC=0
が 等しい (……!) ことから,t の方程式に帰着
くなるための条件は
よって
ゆえに
よって
a•♂-|a|||≠0 であるから
t=
00000
ゆえに
|AB|²+|OČ|²=|AC|²+|OB|²
(2) , , こは ではないから,こと, ことのなす角が等しのy成分が0でないから
c•a
c. b
c=0
Tällä 11161
|| (a+t).a=lal(a+坊)・
|a²|b|+t|b|a·b=lala-b+t|al|6²
() = (1)
|a| __ √9+16+144
161 √9+0+16
√169
重要 55
13
=
/25 5
条件式の(左辺) (右辺)
0 を始点とするベクトル
の差に分割。
MOA BC = 0 を利用。
分母を払って
|b|c·a= |a|c.b
c=a+t を代入。
◄tba-b-tab1²
= lala-6-la1²161
とのなす角は明らか
に 0° ではない。
最後に成分の計算をする。
[参考 (2) は, 角の二等分線とベクトルの関係(重要例題27)を利用することもできる。 詳しくは,
解答編 p351 を参照。
ENGL
