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重要例題120 素数の問題(余りによる整数の分類の利用)
nは自然数とする。n, n+2, n+4がすべて素数であるのはn=3の場合だけで
490
OOOO0
[早稲田大,東京女子大)
あることを示せ。
基本11
81
イn, n+2, n+4の中にnが含まれている。
指針>nが素数でない場合は条件を満たさない。
nが素数の場合について, n+2, n+4の値を調べてみ
ると右の表のようになり, n, n+2, n+4の中には必ず
3の倍数が含まれるらしい,ということがわかる。
よって, n=2, 3のときは直接値を代入して条件を満た
すかどうかを調べ, nが5以上の素数のときは,
n=3k+1, 3k+2の場合に分けて, 条件を満たさない,すなわち n+2, n+4のどちらかが
② 3 :50 1
n
n+2
4
(5
7 9 13 15
n+4
6
(7
9 11 15 17
○:素数,
:3の倍数
82
素数にならないことを示す, という方針で進める。
規則性の発見
CHART 整数の問題 いくつかの値で 小手調べ (実験)
83
解答
43数のうち, nが素数でな
nが素数でない場合は, 明らかに条件を満たさない。
nが素数の場合について
[1] n=2のとき, n+2=4となり, 条件を満たさない。
[2] n=3のとき, n+2=5, n+4=7 で,条件を満たす。
[3] nが5以上の素数のとき, nは 3k+1, 3k+2 (kは自然
数)のいずれかで表され
(i) n=3k+1のとき
R+1 は2以上の自然数であるから, n+2は素数にならず, 4
条件を満たさない。
(i) n=3k+2のとき
k+2 は3以上の自然数であるから, n+4は素数にならず,
い。
4n+4(=6) も素数でない。
e84
n=3k(n25) は素数にな
らないから,この場合は考
えない。
n+2=3k+3=3(k+1)
の断りは重要。k+1=1
とすると, n+2=3(素数)
となるため,このように書
いている[(i)でも同様」。
10余ご
n+4=3k+6=3(k+2)
条件を満たさない。
以上から,条件を満たすのはn=3の場合だけである。
0お
検討)双子素数と三つ子素数
nは自然数とする。n, n+2がともに素数であるとき,これを 双子素数 という。 また,
(7, n+2, n+6)または(n, n+4, n+6)の形をした素数の組を三つ子素数 という。4。
上の例題から, n, n+2, n+4の形の素数は (3, 5, 7) しかないことがわかるが, これをニノ
素数とはいわない。双子素数や三つ子素数は無数にあることが予想されているが, 現在 (2018
年),そのことは証明されていない。
の
