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暴
O
0
G
基本例題 103 約数と倍数
bは0でない整数とする。
40
がともに整数であるようなαをすべて求めよ。
a,
a
(1) 1号と
5
a
aとbがともに3の倍数ならば, 7a-46も3の倍数であることを証明せよ。
(3) a が6の倍数で,かつαが6の約数であるとき,aをbで表せ。
指針 「αが6の倍数である」 ことは, 「 6 がαの約数である」
ことと同じであり、このとき,整数kを用いて
ana=bk
と表される。このことを利用して解いていく。
(1) αは5の倍数で,かつ40の約数でもある。
解答
a
が整数であるから,αは5の倍数である。
ゆえに,を整数として α=5kと表される。
40 40 8
よって
a 5k
k
40
が整数となるのは, kが8の約数のときであるから
a
k=±1, ±2, ±4, ±8
したがって
a = ±5, ±10, ±20, ±40
(2) a,bが3の倍数であるから, 整数k, lを用いて
0
a=3k, b=3l
と表される。
よって
7a-4b=7.3k-4-31=3(7k-4l)
7k-4lは整数であるから,74-4bは3の倍数である。
(③) αがもの倍数αがりの約数であるから,整数k, lを用いて
と表される。
a=bk, b=al
a=bk を b=al に代入し, 変形すると
b=0 であるから kl=1
BATDOOR
k=l=±1
(検討
これは
誤り!
練習
Wo
b(kl-1)=0
k, lは整数であるから
FOR
a=±b
したがって
p.468 基本事項 ①)
bαの約数
a=bk
Labの倍数
=k(kは整数)とおい
5
てもよい。
+001
<a =5k を代入。
負の約数も考える。
<a =5kにんの値を代入。
整数の和差積は整数で
ある｡
αを消去する。
k,lはともに1の約数であ
る。
上の解答の
これではa=bとなり,この場合しか証明したことにならない。 a, 6 は別々の値をと
のようにk, l (別の文字) を用いて表さなければならない。
で, lを用いずに, 例えば (2) でa=3k, b=3kのように書いてはダメ!
る変数であるから、
(1) 2つの整数α, bに対して, a=bk となる整数k が存在するとき, bla と書く
とき α|20 かつ 2 であるような整数αを求めよ。
a,b,c,d は整数とする。
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4章
17
約数と倍数、最大公約数と最小公倍数
