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基本/例題 201 3次関数の増減 極値
次の関数の増減を調べよ。 また, 極値を求めよ。
(1) y=x²+3x2-9x
1
(2) y=-
解答
(1) y'′=3x2+6x-9
=3(x²+2x-3)
=3(x+3)(x-1)
y'=0とすると
指針 関数の増減 極値の問題ではy'の符号を調べる (増減表を作る)。
① 導関数y'を求め, 方程式y'=0 の実数解を求める。
[②2] ① で求めたxの値の前後で,導関数yの符号の変化を調べる。
CHART 増減 極値の符号の変化を調べる 増減表の作成
y'
y
+
(2)y=-x²+2x-1=-(x-1)2
y'=0 とすると
x=1
の増減表は右のようになる。
よって、常に単調に減少する。
したがって, 極値をもたない。
-3
0
|極大
27
x=-3, 1
yの増減表は右のようになる。
よって 区間 x≦-3, 1≦xで単調に増加,
練習
2 ② 201 (1) y=x+2x2+x+1
7
XC
y'
y
3
また, x=-3で極大値 27, x=1で極小値-5 をとる。
注意 (*)増加・減少のxの値の範囲を答えるときは,区
間に端点を含めて答えてよい。 なぜなら,例えば,v=-3
のとき、ukuならばf(u) <f(v) の関係が成り立つからで
ある｡
x³+x²-x+2
1
0 +
極小
-57
1
0
5
3
p.315 基本事項 11 2
10 (1) 201
y'の符号を調べるのに、次のような簡
単なグラフをかくとよい。
(1) y'=3(x+3)(x-1)
(2)y=-(x-1)2
-3
--- 127
N
-3 ON
-5
19.0
次の関数の増減を調べよ。 また, 極値を求めよ。
(2) y=6x²-x³
1
参考yのグラフは次のようになる。
TOV
(1)
(2) y
1
18
重要 205
x
x
5
3
2
0 1
検討 極値は増減表をかいてから判断するように!
VALE BECAK (2)
例題 (1), (2) の関数を y=f(x) とすると, ともにf'(1) = 0 であるが, (2) ではx=1で極値をとら
ない。このように, 関数 f(x) は f'(a)=0であってもx=αで極値をとらないこともある。
すなわち,一般にf(x)がx=αで極値をもつ→f'(a) = 0 は成り立つが、その逆は成り
立たない。よって, 極値を求めるときは,f'(x)=0の解を調べた後に増減表をかき、f'(x) の
符号の変化を確認してから判断する必要がある。
x
基本
次の
(1)
(3)y=x-12x2+48x+5
指針
C
E
(1
