FR
f(x)=2x+x^-3 とおく。 直線y=mxが曲線y=f(x)と相異なる3点で交わるよう
な実数mの範囲を求めよ。
ポイント 実際に y=f(x)のグラフを描き,これと原点を通る直線y=mxが相異なる
3点で交わるような傾きmの範囲を考えるのが最も自然な発想である。 y=f(x) と
y=mxが接するときに注目する。 また,この種の問題に対する常套手段としては,
3
3
f(x) = mx を変形して, 2x2+x=m(x≠0) とし,y=2x2+xとy=mが相異なる
x
3点で交わるようなmの範囲を求めてもよい。
解法 1
f'(x) = 6x2 +2x=2x(3x+1)
f(x) の増減表は右のようになる。
点 (a, f (a)) における曲線y=f(x) の接線の
方程式は
y- (2a²+α²-3)= (6a²+2a)(x-α)
y = (6a²+2a) x (4a³+ a²+3)
これが原点を通るとき
8
IC
f'(x)
f(x)
0 = - (4a3+ α²+3) (a + 1) (4a²−3a+3) = 0
α は実数であるから
a
a=-1 .....2
よって, 原点を通り, y=f(x) に接する直線の方程式は,
①② より
......
y=4x
したがって, 原点を通る直線y=mxが曲線y=f(x) と
相異なる3点で交わるような実数mの範囲は, グラフ
m>4
〔注〕y=mxとy=f(x) が接するときのmを次のように
して求めることもできる。
+
I
1-3
0
80
27
VA
-1 3
y=4x
O
✓
80
27
・3
4
0
0 +
-3
>
y=f(x)
x
y=mxとy=f(x) が接するとき
mx=f(x) ⇔ 2x3+x²-mx-3=0 ...(*)
が重解を持つから,(*)の解を α,α,B(α は実数)とすると,3次方程式の解と係数
の関係より