例題 292
漸化式 an+1== pan+f(n) (pキ1)
a=3, an+1=3an+2n+3 で定義される数列{and の一般項 anを求めよ。
第8章
「考え方 解答1漸化式 an+1=3an+2n+3 において, nを1つ先に進めて an+2 と an+1 に関す
る関係式を作り,引いて,{an+1- an} に関する漸化式を導く。
解答2 an に加える(または引く) nの1次式 pn+qを決定することにより,
{an+ pn+q} が等比数列になるようにする。
an+1=3an+2n+3
an+2=3an+1+2(n+1)+3
2-0より、
G bn=Qn+1-an とおくと,
bn+1=36。+2, b=az-a=3a,+2+3-a=11
より,
解答1
……0より,
2は①のnにn+1
2
を代入したもの
an+2-an+1=3(an+1-an)+2 差を作り, nを消去
する。
b=2-a=3a」+2+3-a=11 ①より,
bn+1+1=3(bn+1),
したがって,数列{bn+1} は初項 12, 公比3の等比数列
だから,
n22のとき。
bi+1=12
a2=3a」+2+3=14
α=3a+2 より,
bn+1=12-3"1=4·3"
bn=4·3"-1
Q=-1
12-37-1=4-3-37-1
n-1
12(3*-1-1)
n-1
an=Qi+2be=3+ (4·3*-1)=3+·
=4-3"
k=1
k=1
3-1
6+nS+」
=6-37-1-n-2=2·3"-n-2
n=1 のとき a=2·3'-1-2=3 より成り立つ。-+
よって,
6-37-1=2-3-37-1
=2-3"
n=1 のときを確認
an=2-37-n-2
