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54 平面図形195
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点Oを中心とする半径rの円周上に, 2点A.BをZAOB<号となるようにとり
=ZAOB とおく。この円周上に点Cを,線分 OC が線分 AB と交わるようにとり。
限分AB上に点Dをとる。また,点Pは線分 OA上を、点Qは線分 OB 上を, それ
2011年度 [2]
+0000
Level B
それ動くとする。
CP+ PQ+QCの最小値をrと0で表せ。
) a=OD とおく。DP+PQ+QD の最小値をaと0で表せ。
3) さらに,点Dが線分 AB上を動くときの DP+PQ+QD の最小値をrと0で表せ。
ポイント(1).(2) 下記の事項を用いて求める。
「右図のように,2定点A, Bと直線1があり,1上に動
点Pがある。このとき, 2つの線分の和 AP+ PBの最小
*B
A。
0A0
P
値は
AP+BP= AP+B'P>AB'
rh. 線分 AB'の長さである(B’ は1に関してBと対称
な点)。」
a点Dが繰分 AB上を動くときを考えるから, aは変数
もつこ B
となる。よって, aが最小になるときを考えればよい。
解法
(1) 線分OA, OBに関して点Cと対称な点をそれぞれC',
C"とすると,CP=CP, CQ=C"Qであるから
CP+PQ+ QC=CP+PQ+QC"
B
C
π
また,ZC"OC'=20であり, 0<0<ーより, 0<20<zとな
るから,線分C'C"は線分 OA, OB と交わる。
よって
CP+PQ+QC=CP+PQ+QC">C'C"
したがって, CP+PQ+QCの最小値は
C'C"=20C'sin0=2rsin0
(答)