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2次曲線と直線
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例題 74 直線の通過領域
m を実数とする. 直線ℓ: (m²-1)x+(m²+1)y=2m ...... ①
について,
(1) 直線ℓが点 (1, 2) を通るかどうか調べよ.
(2) 実数 m がいろいろな値をとって変化するとき, 直線lが通過する
領域を図示せよ.
[考え方
(1) (1,2) が直線ℓ上にあると仮定し、 実数が存在するかどうかを調べる .
(2) 直線ℓが点P(X,Y) を通るとして, x=X,y=γ を代入して得られる m の方程
式が実数解をもつ条件を考える.
解答
(1) 直線ℓが点 (1, 2) を通るとして,
① に x=1, y=2 を代入すると,
(m²−1)·1+(m²+1)·2=2mpr
よって,
3m²-2m+1=0 ......2
mの2次方程式 ② の判別式をDとすると,
D1 i=(-1)²-3•1=-2<0 より,②を満たす実(S)
4
数mは存在しない.
よって、直線lは点 (1, 2) を通らない.
(2) 直線lが点P(X, Y) を通るとして, ① に x=X,
y=Y を代入すると,
(m²-1).X+(m²+1).Y=2m
よって,
(X+Y)m²-2m+(-X+Y) = 0
mについて整理する.
(i) X + Y≠ 0 のとき
③
mの2次方程式とみて、判別式をDとす
は実数より、
ると,
(0<d<D) 1=x√
円
D² − (−1)²—(X+Y)(−X+Y)=X²− Y²+1≥0
③が実数解をもつ条
件
よって, X2-Y'≧-1
|x-2≧-1
(ただし, Y≠ーX)
y=x
(ii) X+Y=0のときであ
(yキーx) の表す領
域は,双曲線
③ に Y=-X を代入
すると,
-2m-2X=0
つまり, m=-X より,
y=-x
|x2-y2=-1の原点
を含む側である. た
だし,境界線を含み,
直線y=-x は含ま
実数 m が存在する.
(i), (ii)より,実数が変化
ない.
するとき,直線lが通過する領域は, x²-y'≧-1 で
「あり、図示すると右上の図の斜線部分になる。 ただし,
境界線を含む.
B. JA SA
2x-85A - P
よく
第2章
