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重要 例題 50
2次式の因数分解 (2)
のような解をもつよう
p.76 基本事項 5.基本4
Enf. 2次関数
(x)=xalle
つグラフを利用すると
) D≧ 0,
(軸の位置) ≧ 2,
f(2)≥0
f(2)
2
a
f(2)<0
x=1~1
2
第6_5 | 補足 参照)
[⑤]
00000
4x2+7xy-2y2-5x+8y+k がx,yの1次式の積に因数分解できるように,
定数kの値を定めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。 [類 創価大]
A
CHART & THINKING
2次式の因数分解 =0 とおいた2次方程式の解を利用
基本 2046
xyの1次式の積に因数分解できる」とは, (与式) = (ax+by+c) (dx+ey+f) の形に表
されるということである。 また, 与式をxの2次式とみたとき (yを定数とみる),
(与式)=0とおいた 2次方程式 4x2+(7y-5)x-(2y²-8y-k)=0の判別式をDとする
-(7y-5)-√DI
と、与式は41x-
−(7y−5) +√D₁}{x —
8
8
の形に因数分解できる。 この因
①.......
数x、yの1次式となるのは, D1 が (yの1次式) すなわち」についての完全平方式のと
きである。それは,1=0 とおいて,どのような条件が成り立つときだろうか?
解答
時
)
(与式)=0とおいた方程式をxの2次方程式とみて
4x2+(7y-5)x-(2y2-8y-k)=0 ...... ①
である。
の判別式をDとすると
D=(7y-5)2+44(2y2-8y-k)=81y2-198y+25-16k
与式がxとyの1次式の積に分解されるための条件は,①の
解がyの1次式となること, すなわちD がyの完全平方式
となることである。 D1 = 0 とおいたyの2次方程式
81y2-198y+25-16k=0 の判別式を D2 とすると
4
D2=(-99)²-81(25-16k)=81{11²—(25—16k)}
=81(96+16k)
Q D2=0 となればよいから 96+16k=0 よって k=-6
このとき, D=81y2-198y+121=(9y-11)2 であるから,
①の解は
x=
__(7y-5)±√(9y-11)-(7y-5)±(9y-11)
8
8
2章
7
解と係数の関係
000
とき,
の値の範囲
る。
| 数学で
必要十分
inf 恒等式の考えにより
解く方法もある。 (解答編
および p. 59 EXERCISES
15 参照 )
前ペー
(1) と同
← D1 が完全平方式⇔
2次方程式 D=0 が重
解をもつ
計算を工夫すると
992=(9.11)²=81・112
√ (9y-11)=l9y-11|
<A>
A>
参考
指針
ての
不等
う。
53+4212
とき, D0 は成り
っている。
すなわち
x=-
4
_y-3-2y+2
ゆえに
(与式)=4(x-2-3)(x-(-2y+2)}
754 解説 参照)
=(4x-y+3)(x+2y-2)
うな実数の
い解をもつ
であるが,±がついて
いるから, 9y-11の絶
対値ははずしてよい。
括弧の前の4を忘れな
いように。
PRACTICE 50º
を定数とする2次式 x2+3xy+2y2-3x-5y+k がxyの1次式の積に因数分解
できるときの値を求めよ。 また, そのときの因数分解の結果を求めよ。
[東京薬大]
D
+
A
