36
重要 例題 148
シュワルツの不等式
00000
(1)f(x),g(x)はともに区間 a≦x≦b (a<b) で定義された連続な関数と
する。このとき,tを任意の実数としてS(f(x) +tg(x))dx を考えるこ
とにより,次の不等式が成立することを示せ。
{Sf(x)g(x)dx}' = (f(x)dx)("{(x)dx)
S
また,等号はどのようなときに成立するかを述べよ。
(2) f(x) は区間 0≦x≦ で定義された連続関数で
・A
{(sinx+cosx)/(x)dx}" (f(x))dx, および f(0)=1
を満たしている。 このとき, f(x) を求めよ。
[類 防衛医大]
p.230 基本事項 2|
CHART & SOLUTION
(1) 不等式 A をシュワルツの不等式という。
{f(x)+tg(x)}20 から ${f(x)+1g(x)}dx≧0
左辺はtの2次式で表されるから,次の関係を利用。
USD
pt+2gt+r≧0(tは任意の実数)>0,
1/20 またはp=q=0, 0
(2)(1) において g(x)=sinx+cosx で等号が成り立つ場合。
解答
(1)=f(g(x)dx, gff(x)g(x)dx,r=f(f(x)dxrp を証明する。
とおく。
[1] 常に f(x)=0 または g(x)=0 のとき
不等式 A の両辺はともに0となり,Aが成り立つ。
[2] [1] の場合以外のとき
t を任意の実数とすると
+0dx=0
p = 0, y = 0
S(f(x)+tg(x)dx=S[{f(x)}2+2tf(x)g(x)+12{g(x)}2] dx
=12f(g(x)dx+21ff(x)g(x)dx+${f(x)dx
= pt2+2gt+r
(f(x)+4g(x)}220であるから
${f(x)+tg(x)}dx≧0
......
すなわち, 任意の実数に対して pt2+2gt+r≧0
ここでp>0 から, tの2次方程式 pt2+2gt+r=0 の
判別式をDとすると,不等式①が常に成り立つ条件は
D≤0
①が成り立つ。
← {g(x)}2≧0 から
p=√(g(x)}³dx≥0
p = 0 から p>0
→常に手ではない
